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Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M soll die Gerade g berühren.

M=(0|5), g: 5x+3y= -19

von

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht mehr weiter.. Könnt ihr mir bitte helfen?  6.09Bild Mathematik

4 Antworten

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Beste Antwort
Ich beschreibe dir den Lösungsweg erst einmal in Worten.
Falls dieser nicht klar ist stelle ich eine Skizze hier ein.

Durch das Koordinatensystem zieht sich eine Gerade
5 * x + 3 * y = -19
In der bekannteren Form lautet die Funktion
y = - 5/3 * x - 19/3
Dies ist eine Tangente an den Kreis.
t ( x ) =  - 5/3 * x - 19/3
Auf dieser Tangente stehen beliebige Normale.
( im Winkel 90 ° zur Tangente ).
Diese haben die Steigung :
m(n) = -1 / m(t)
m(n) = -1 / ( - 5/3)
m(n) = 3/5
Eine dieser Normalen geht durch den Mittelpunkt des
Kreises. Diese Normale hat die Funktion
n ( x ) = 3/5 * x + 5
( 5 als y-Achsenabschnitt, bekannt von M ( 0  | 5 ) )
Der Schnittpunkt von Tangente und Normale ist der
Berührpunkt des Kreises.
t ( x) = n ( x )
- 5/3 * x - 19/3 = 3/5 * x + 5
x = -5
Der dazugehörige Funktionswert ist
t ( -5 ) =  - 5/3 * (-5) - 19/3
t ( -5 ) = 2
Der Kreis besitzt den Punkt ( -5  | 2 ).
Allgemeine Kreisgleichung für den Kreis mit M im
Ursprung. Pythagoras :
r^2 = x^2 + y^2
y = √ ( r^2 - x^2 )
Da der Kreis den Mittelpunkt in M ( 0 | 5 ) hat ist es
ein in Richtung y-Achse um 5 Einheiten nach oben
verschobender Kreis mit der Gleichung
y = √ ( r^2 - x^2 ) + 5
( Nachtrag : die Gleichung beschreibt  nur den oberen
Teil des Kreises ). Für diesen Fall gilt :
y = 5 - √ ( r^2 - x^2 )
x = -5; y = 2
Damit kann r berechnet und die Gleichung aufgestellt
werden. r = √ 34.

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mfg Georg
von 121 k 🚀
Nachtrag : die Berechnung von r geht auch einfacher.
Abstand Kreismittelpunkt zum Schnittpunkt :

r = √ (  (delta y)^2 + (delta x)^2 )
r = √ (  (5-2)^2 + (0-(-5))^2 )
r = √ (  (3)^2 + (5))^2 )
r = √ ( 34 )

mfg Georg
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am Beispiel a)

Kreisgleichung:   x2 + (y-5)2 = r2

Gerade:  5x + 3y = -19   ⇔  x = -19/5 - 3y/5

x in die Kreisgleichung einsetzen und umformen ergibt eine quadratische Gleichung

         y2 + py + q = 0  mit dem Parameter r2

         y2 - 4·y - (25·r2/34 - 29) = 0

                 p = - 4 , q = - (25·r2/34 - 29)

Bei der pq-Formel  y1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

   y1,2 =  2 ±  \(\sqrt{4 +(25·r2/34 - 29) }\)

muss der von r abhängige Term unter der Wurzel dann den Wert 0 haben, weil es nur eine Lösung (Berührpunkt!) gibt:

4 +(25·r2/34 - 29) = 0

Daraus ergibt sich r = √34 

Kreisgleichung:  x2 + (y - 5)2 = 34

Der Berührpunkt ergibt sich dann  mit y = 2  → x = -19/5 - 3*2/5 = -5 zu  B(- 5|  2 )

Gruß Wolfgang

von 86 k 🚀
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hier eine gute Beschreibung des Vorgehens vom Moderator georgborn aus dem Jahr 2014

von 3,6 k

Hallo Oldie,
gerade habe ich eine Antwort formuliert und
sehe jetzt ich mich schon einmal daran
gearbeitet habe. Jo mei.

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Die Geradengleichung wurde aufgestellt.
Die Normale n ( x ) dazu geht durch den Mittelpunkt
des Kreises.

Bild Mathematik

Jetzt den Schnittpunkt S ( x | y ) von g und n berechnen.

Über den Pythagoras r^2 = Δ x^2 + Δ y^2 den Radius berechnen.

Allgemeine Kreisgleichung

r^2 = ( x - 0 ) ^2 + ( y - 5 ) ^2

von 121 k 🚀

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