Krümmungsverhalten in Intervallen

Question

Hi Zusammen,

Wir hatten im Unterricht eine Aufgabe, wo es hieß, man soll  bestimmen, in welchen Intervallen das Schaubild eine Links- bzw. Rechtskurve hat.

Wir hatten die Aufgabe f(x)=x^3-12x^2+11

Haben das ganze dann bis auf f''(x) abgeleitet, dann kam x=4 aus.

Dann war von unserem Lehrer die Antwort, man setzt einen Wert "links" und einen Wert "rechts" von x=4 ein.

Also z.B. 2 (links) und 5(rechts.

Setzt diese dann in die 2. ableitung und sieht dann das Krümmungsverhalten..

Wie mache ich das jetzt aber bei der folgenden Aufgabe?

f(x)x^4+2x^3-5x+3

Da bekomme ich, wenn ich f''(x)=0 setze  x1=0 raus und x2=-1

Muss ich da jeweils für x1 und für x2 je ein wert "links" und "rechts" einsetzen?

Weil meine Lösung irgendwie falsch ist..

LG!

Answer 1

f(x) = x^4 + 2·x^3 - 5·x + 3
f'(x) = 4·x^3 + 6·x^2 - 5
f''(x) = 12·x^2 + 12·x = 12·x·(x + 1) = 0

im Intervall ]-∞ ; -1] rechtsgekrümmt
im Intervall [-1 ; 0] linksgekrümmt
im Intervall [0 ; ∞[ rechtsgekrümmt

Skizze

~plot~ x^4 + 2·x^3 - 5·x + 3;x=-1;x=0;[[-2|2|-1|10]] ~plot~

Answer 2

siehe Mathe-Formelbuch,Differentialgeometrie

Krümmung

k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)

k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben gesehen)

k>0 konkav (Linkskrümmung,von oben gesehen)

Hinweis:Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen konvex/konkav voneinander.

Bedingung:Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x)≠0

rechts und links neben dem Wendepunkt ergibt einen Vorzeichenwechsel bei y´´=f´´(x)

Comments

Kann ich nicht wie der Lehrer einfach vor und nach den Nullstellen jeweils eine Zahl einsetzen um das zu bestimmen?

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Das Krümmungsverhalten berechnet sich über die allgemeine Krümmungsformel oder über die 2. Ableitung > 0 oder < 0. Schon die Berechnung des Wendepunktes ist problematisch, weil es Funktionen gibt, die rechnerisch einen Wendepunkt anzeigen, den es gar nicht gibt. Außerdem musst Du die Stetigkeit und andere Kriterien berücksichtigen. Einfach einen Wert links oder rechts einsetzen ist primitive Kindergarten-Mathematik und ganz sicher nicht akzeptabel.

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Hm .. na so hat es eben unser Lehrer gesagt.. oder die 2. Ableitung als Ungleichung jenachdem <0 oder >0 setzen.. aber wenn ich 2 x werte raus bekomme, weiß ich nicht wie ich das ganze auflösen soll.

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muß man auch allerdings in y´´=f´´(xw)

xw=Wendepunkt x-Werte

dann x1=xw-0,1  oder x2=xw-1 ist einfacher zu rechnen

dann x2=xw+0,1 oder x2=xw+1

Dann findet ein Vorzeichenwechsel statt.