Folge auf Konvergenz im Raum untersuchen, Grenzwert bestimmen.

Question

Aufgabe:

(a) Sei
$$ a_{n}:=\left(\begin{array}{c} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{2 \cdot 3^{k}}{5 k+2} \\ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\ 42+\frac{1}{n+1} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
Untersuchen Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz im Raum \( \left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.
(b) Sei \( \left(V,\|\cdot\|_{V}\right) \) ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq V \) eine Cauchy-Folge ist. (Bemerkung: Der Raum (V, || - || \( _{v} \) ) heißt vollständig, wenn die Umkehrung gilt, wenn also jede Cauchy-Folge konvergiert.

 

Ich weiß leider nicht wie ich diese beiden Aufgaben lösen soll..

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

 das ist eine Folge von 3d Punkten, damit sie gegen einen Punkt konvergiert, müssen alle einzelnen Komponenten konvergieren, das ist also einfach 3 Aufgaben in einer,

die Wurzeln mit ihrer Summe erweitern ,

die Summe : such nach ner geometrischen Reihe indem du was ausklammerst.

Gruß lul