Basis Vektorraum R3

Question

Es seien

$$U_{1}=\left\{\begin{pmatrix} 2a\\a\\b\end{pmatrix}\right\}\\ U_{2}=\left\{\begin{pmatrix} a\\a\\b\end{pmatrix}\right\}$$

Wie bestimme ich die Basis der beiden Mengen?

Und wie bestimme ich die Basis von

$$U_{1}∩U_{2}$$

und

$$U_{1}+U_{2}$$

?

Ich komme hier nicht weiter... Danke

Comments

Bei

Eine Basis von U1∩U2 findest du, indem du die linear abhängigen Basisvektoren aus beiden Basen auswählst. Davon gibt es nur einen:

meintest Du sicherlich die linear unabhängigen Basis Vektoren, richtig?

Answer 1

U1: (2,1,0) und (0,0,1) ist eine Basis

U2:  (1,1,0) und  (0,0,1) ist Basis

was im Schnitt liegt sieht man direkt  da die restlichen 3 Lin unabhängig

 und U!+U2 kannst du auch direkt

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$U_1:\;\begin{pmatrix}2a\\a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a\\a\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\b\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{Basis}(U_1)=\left(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$$$U_2:\;\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\a\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\b\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\Rightarrow\quad\operatorname{Basis}(U_2)=\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Eine Basis von \(U_1\cap U_2\) findest du, indem du die linear abhängigen Basisvektoren aus beiden Basen auswählst. Davon gibt es nur einen:$$\operatorname{Basis}(U_1\cap U_2)=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Eine Basis von \(U_1+U_2\) findest du, indem du die linear unabhängigen Basisvektoren aus beiden Basen auswählst. Davon gibt es drei:$$\operatorname{Basis}(U_1+U_2)=\left(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Comments

Bei

Eine Basis von U1∩U2 findest du, indem du die linear abhängigen Basisvektoren aus beiden Basen auswählst. Davon gibt es nur einen:
meintest Du sicherlich die linear unabhängigen Basis Vektoren, richtig?

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Sorry, ich habe mich unsauber ausgedrückt. Ich meine bei \(U_1\cap U_2\), dass du diejenigen Basis-Vektoren auswählen musst, die in beiden Basen vorkommen. Die müssen natürich nicht identisch sein, sondern können auch linear abhängig voneinander sein. Also der Basisvektor \((0|0|1)\) aus \(U_1\) und der Basisvektor \((0|0|2)\) aus einem anderen Unterraum wären z.B. in der Schnittmenge, obwohl sie nicht gleich sind.

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Ah okay... klar... Danke