Question

Für x, y ∈ R gilt genau dann sinh x = y, wenn x = ln(y+\( \sqrt{y^2+1} \))

Hallo, könnte mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Answer 1

Hallo,

es ist \(y= \sinh(x)=\frac{1}{2}(\exp(x)-\exp(-x))\). Darin führst Du die Substitution \(z:=\exp(x)\) durch und erhältst für \(z\) die Gleichung:

$$y=\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})$$

Du multiplizierst dies mit \(z\) und erhältst eine quadratische Gleichung in \(z\). Diese kannst Du standardmäßig lösen.

Du erhältst daraus 2 Lösungen und überlegst Dir, dass wegen  \(z:=\exp(x)\) nur eine davon in Frage kommt. Am Ende: \(x=\ln(z)\).

Gruß