Wahltteil analisis aufgabe

Question

Zu jedem t ( Element R ) ist eine Funktion für gegeben durch ft(x)= -2x-e^2t-x

Ihr Schaubild sei K.

1. Skizzieren Sie die verschiedene Schaubilder und geben Sie die wichtigsten Eigendchaften der Kurven der Schar.

2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunktes Ht von Kt sowie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Hochpunkte liegen.

3. Für welchen Wert von t hat Kt genau einen gemeinsamen Punkt mit der x- Achse?

Answer 1

Hallo Laura,

Ich unterstelle, die gegebene Funktion lautet $$ f_t(x)= -2x-e^{2t-x}$$Leite die Funktion nach \(x\) ab und bestimme den X-Wert \(x_e\) und Funktionswert \(f_t(x_e)\) des Extrempunktes \(H_t = (x_e, f_t(x_e))\)$$\begin{aligned}f_t'(x) &= -2 + e^{2t-x} \to 0\\ \implies x_e &= 2t - \ln(2) \\ f_t(x_e) &= -2(2t - \ln(2)) - 2 \\ &= -2x_e - 2\\ \end{aligned}$$Die Ortskurve der Extrempunkte ist also eine Gerade

~plot~ -2x-e^(-x);-2x-e^(2-x);-2x-e^(-4-x);-2x-2;[[-12|12|-10|10]] ~plot~

Die Graphen zeigen \(f_t(x)\) für verschiedene Werte von \(t\). Alle Extrempunkte liegen auf der pinken Geraden \(-2x-2\).

Für welchen Wert von t hat Kt genau einen gemeinsamen Punkt mit der x- Achse?

Setze dazu \(f_t(x_e)=0\) und berechne das zugehörige \(t\).

Falls etwas nicht klar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner