Stammfunktion von f(x) =(5-2*x)*e^-2x?

Question

Weiß leider nicht wie ich die integrationsregeln hierbei anzuwenden habe.

Answer 1

Eine Idee wäre zunächst:

$$\int (5-2x)e^{-2x} \, dx = 5\int e^{-2x} \, dx - 2\int xe^{-2x} \, dx$$

Das erste Integral ist einfach zu integrieren, das zweite benötigt eine einmalige Partielle Integration

Die Stammfunktion des ersten Integrals $5\int e^{-2x} \, dx$ ist:

$$-\frac{5e^{-2x}}{2} + C$$

Wenn ich auf $- 2\int xe^{-2x} \, dx$ die Partielle Integration anwende mit:

f' = e^(-2x), f = (-e^(-2x))/(2)

g = x, g' = 1

erhalte ich als Lösung für das zweite Integral:

$$\dfrac{\left(2x+1\right)\mathrm{e}^{-2x}}{2}+C$$

Das ganze zusammenführen und Fertig!