Aloha :)
zu a) Geradengleichung für \(R_t(2t+5|2-t|t-3)\):$$g:\;\vec x(t)=\begin{pmatrix}2t+5\\2-t\\t-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$Auf der \(x_1x_3\)-Ebene ist \(x_2=0\). Durchstoß bei \(t=2\) im Punkt \(S(9|0|-1)\).
zu b) Minimaler Abstand von \(R_t\) zu Punkt \(Q(3|8|1)\):
Projeziere den Vektor \(\overrightarrow{R_0Q}\) auf die Gerade \(g\):
$$t=\left[\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\-3\end{pmatrix}\right]\cdot\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-2\\6\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\frac{-6}{\sqrt6}=-\sqrt6$$
zu c) Rechtwinkliges Dreieck:
Die Vektoren \(\overrightarrow{PR_t}\) und \(\overrightarrow{PQ}\) müssen senkrecht aufeinander stehen:
$$0\stackrel{!}{=}\left[\begin{pmatrix}2t+5\\2-t\\t-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\4\\-6\end{pmatrix}\right]\cdot\left[\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\4\\-6\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}2t\\-t-2\\t+3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\4\\7\end{pmatrix}$$$$\phantom{0}=-4t-4t-8+7t+21=-t+13\quad\Rightarrow\quad t=13$$
d) Längen und Winkel für rechtwinkliges Dreieck
$$a=\left\|\overrightarrow{PQ}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2\\4\\7\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{69}$$$$b=\left\|\overrightarrow{PR_{13}}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}26\\-15\\16\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1157}$$$$c=\left\|\overrightarrow{QR_{13}}\right\|=\left\|\left[\begin{pmatrix}2\cdot13+5\\2-13\\13-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}\right]\right\|=\left\|\begin{pmatrix}28\\-19\\9\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1226}$$Der Winkel \(\alpha\) folgt aus dem Sinussatz:$$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin(90^o)}{c}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arcsin\frac{a}{c}\approx13,72^o$$Die Winkel sind daher \(\alpha=13,72^o\;,\;\beta=76,28^o\;,\;\gamma=90^o\).
