Ermitteln Sie den Parameter der Flugbahn der Kugel

Question

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden:

$$ y=b_{1}+b_{2} \cdot x+b_{3} \cdot x^{2} $$

wobei \( x \) die zurückgelegten Meter der Kugel, \( y \) die Höhe der Kugel in Metern, und \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) die
Parameter der Kugel bezeichnen.

Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

xi	6	9	13	14
yi	91	110	122	117

a. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{1} \) der Flugbahn.
b. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{2} \) der Flugbahn.
c. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{3} \) der Flugbahn.
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach \( 16 \) Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Answer 1

h ( x ) = b1 * x^2 + b2 * x + b3
Einsetzen
h ( 6 ) = b1 * 6^2 + 6 * x + 6 = 91
h ( 9 ) = b1 * x^2 + b2 * x + b3 = 110
h ( 13 ) = b1 * (13)^2 + b2 * (13) + b3 = 122
h ( 14 ) = b1 * (14) + b2 * (14) + b3 = 117

Jetzt hast du 4 Gleichungen bei 3 Unbekannten.
Eine Gleichung wird nicht benötigt.

Comments

Aus den ersten 3 Gleichungen ergibt sich

f(x) = -10/21·x^2 + 283/21·x + 191/7

f ( x ) = 16

f ( x ) = 0

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ok d.h ich setzt die x und y werte ein erhalte 4 gleichungen von denen ich nur 3 brauche und löse auf für b1 etc. Doch wie komm ich dann auf höhe bzw. entfernung was muss ich da wo einsetzten?

b1 = 191/7 ≈ 27,2857143
b2 = 283/21 ≈ 13,4761905
b3 = -10/21 ≈ -0,4761905

würde ich dann raus bekommen ist das korrekt?

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Ich habe mein Ergebnis nochmals überprüft
und komme in Dezimalwerten auf
f(x) = -0,4762·x^2 + 13,4762·x + 27,2857

Dein Ergebnis stimmt also
f ( x ) = -10/21·x2 + 283/21·x + 191/7 = 16
-10/21·x2 + 283/21·x + 191/7 = 16
quadratische Gleichung mit Mitternachts-
formel, pq-Formel oder quadratischer Ergänzung zu lösen.
Bei x = 29.11 m ist die Höhe 16 m

-10/21·x^2 + 283/21·x + 191/7 = 0
Bei x = 30.20 m ist die Höhe 0 m.

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ich habe es auch nochmal durch gerechnet und das selber raus bekommen jedoch ist das ergebniss falsch

Text erkannt:

- Lösung
Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden
$$ y=b_{1}+b_{2} \cdot x+b_{3} \cdot x^{2} $$
vobei \( x \) die zurückgelegten Meter der Kugel, \( y \) die Höhe der Kugel in Metern, und \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) die Parameter der Kugel pezeichnen.
Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:
\( \begin{array}{ccccc}x_{i} & 6 & 9 & 13 & 14 \\ y_{i} & 91 & 110 & 122 & 117\end{array} \) Ermitteln Sie den Parameter \( b_{1} \) der Flugbahn. 13.94
Ermitteln Sie den Parameter \( b_{2} \) der Flugbahn. 16.76
Ermitteln Sie den Parameter \( b_{3} \) der Flugbahn. -0.66
. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 16 Metern? 112.31
In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf? 26.08

ich verstehe nicht wie die darauf kommen

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Der Unterschied wird wohl darin zu suchen sein
das eine Parabel durch nur 3 Koordinaten
bestimmt wird.
Ich kann mir aber nicht vorstellen das nach einer
Ausgleichs-Parabel unter Berücksichtigung von allen 4 Koordinaten gefragt wird.
Das wäre zu aufwendig.
Ich hoffe das die Aufgabe noch im Unterricht
besprochen wird.
Gute Nacht Georg

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jedoch ist das ergebniss falsch

das ist so, weil die 4. Gleichung nicht berücksichtigt wurde.

Ich kann mir aber nicht vorstellen das nach einer
Ausgleichs-Parabel unter Berücksichtigung von allen 4 Koordinaten gefragt wird.

genau danach ist gefragt.

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genau danach ist gefragt.

Gut. Mach ich aber nicht mehr.