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Aufgabe 2:

Sei \( V \) ein beliebiger, endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum. (Wie üblich bezeichnet hier \( K \) den zugrundeliegen Körper).

i) Zeigen Sie: Es existiert ein Vektorraum-Isomorphismus

\( V \cong K^{\operatorname{dim} V} \)

ii) Sei \( n \geq m \geq 0 . \) Zeigen Sie:

\( K^{n} / K^{m} \cong K^{n-m} \)

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i) Sei b1,...,beine Basis von V (n=dim V). und e1,...,en die Standardbasis von Kn dann ist f: V → Kn , f(bi)=ei (0<i<n+1) (es genügt bekanntlich lineare Abb. auf der Basis zu definieren) ein solcher Isomorphismus (man kann z.B. die Umkehrabb. sofort angeben).

iI) g:Kn→Kn-m (a1,a2, ...,an)↦(a1,a2,...,an-m) ist linear und surjetiv (eine Projektion) mit m-dimensionalen Kern (z.B. mit Dimensionssatz). Nach i) ist der Kern damit isomorph zu Km und die Isomorphie folgt mit dem Homorphiesatz.

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danke :)

mir ist leider nicht klar wie ich aus dem homomorphiesatz die isomorphie folgern kann.

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