Gegeben sei ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum \( V \) mit char \( \mathbb{K} \neq 2 . \) Wir bezeichnen mit
$$ A^{n}(V, \mathbb{K}):=\left\{f \in L^{n}(V, \mathbb{K}), f \text { ist alternierend }\right\} $$
die Menge der alternierenden \( n \) -Linearformen über \( V \). Sei die Abbildung alt : \( L^{n}(V, \mathbb{K}) \rightarrow L^{n}(V, \mathbb{K}) \) gegeben durch
$$ (\operatorname{alt}(f))\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\frac{1}{n !} \sum \limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sign}(\sigma) f\left(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}\right) $$
Zeigen Sie:
a) Die Abbildung alt ist ein Endomorphismus.
b) Es gilt: alt \( \left.\right|_{A^{n}(V, \mathrm{K})}=\mathrm{id}_{A^{n}(V, \mathrm{K})} \)
c) Es gilt: im(alt) \( =A^{n}(V, \mathbb{K}) \)
d) Folgern Sie, dass alt ein Projektor auf die Menge der alternierenden Bilinearformen ist.
