Lipschitz Stetig x4 in [0, 1]?

Question

:)

Ich bin am grübeln mit folgender Aufgabe:

Ist die Funktion f: [0,1] -> R mit f(x)=x⁴ Lipschitz-Stetig? Begründe.

Also hab ich mal angefangen:

Seien x1,x2 aus D, so gilt |x1⁴ - x2⁴| =< L* |x1 - x2|

Nun müsste man die linke Seite so umformen, dass man am Ende auf eine Form ähnlich zur rechten Seite bekommt ( L finden). Dann wäre f L.-stetig. Leider habe ich keine Idee für diesem Schritt.. kannst du mir hier weiterhelfen?

!

Answer 1

Hallo,

$x^4$ ist auf dem Intervall $[0, 1]$ beschränkt und nimmt ihr Minimum $0$ bei $0$ und ihr Maximum $1$ bei $1$ an.

Wir berechnen $(x^4 - y^4) / (x - y) = x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3$. Auf $[0, 1] \times [0, 1]$ nimmt die rechte Seite ihr Maximum bei $(x, y) = (1, 1)$  an.

Daraus folgern wir $\left| \frac{x^4 - y^4}{x - y} \right| \leq 4$ und erhalten mit $L = 4$ eine Lipschitz-Konstante.

Grüße

Mister

Comments

Vielen Dank! Wie sähe dies für das Intervall [0,2] aus? Genau so oder?

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hat sich erledigt :)