Bestimme die Ordnung der Untergruppe(Permutation)

Question

Sei S4 mit den beiden Permutationen a=(1 2) und b= (2 3) gegeben.

Beachte sie die von a und b erzeugte Untergruppe U:=<a,b>

Die Ordnung von U ist 6.

a o b^2, a^2 o b, a, b bilden dann eine Untergruppe aber ich versteh nicht wie man jetzt auf die 6 kommt

Answer 1

Du hast wohl aob und boa vergessen, die sind aber beide gleich

und das neutrale Element, das bekommst du z.B. durch a^2 .

Comments

Aber  a o b und a^2 oder b^2 ergibt weder a oder b also kann es keine Untergruppe sein

Oder muss man a^3 was a ergibt und b^3 was b ergibt mit zählen ?

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Aber  a o b und a^2 oder b^2 ergibt weder a oder b also kann es keine Untergruppe sein .

Nein, das ist es ja gerade. Die von a und b erzeugte Untergruppe

besteht aus allen Ergebnissen, die man durch ein- oder mehrmaliges

Hintereinanderausführen vona oder b erhalten kann.

Also insbesondere:

a alleine, das ist halt a. und

b alleine, das ist halt b.

Dann musst du mal schauen was passiert, wenn mann

macht   a*a   Das gibt die Identität id, die muss in jeder Untergruppe

sein.  b*b gibt auch id .

Dann schau mal was mit a*b und b*a entsteht etc.

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Bekomme bei a o b = (123)(4) und b o a = (132)(4)

Hab diese Untergruppen

a

b

a o b^2 =a

a^2 o b = b

a^2 o b^2 = Id ( oder darf man dieses nicht mit zählen)

Und wenn ich die a o a = b o b = Id mit reinnehme sind das schon 7 ?

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Du hast keine Untergruppen, sondern Elemente der

Untergruppe, die von a und b erzeugt wird.

Und wenn du siehst

Hab diese Untergruppen

a  und    a o b^2 =a  sind beide gleich, dann ist das

eben nur ein Element, ich würde der Einfachheit halber a

schreiben.

Ebenso sind a^2 = b^2 = a^2 o b^2 = … = id

Du hast also erst 3 verschiedene Elemente id, a und b.

Nun versuche mal a o b und b o a und so fort, ob da was Neues

bei entsteht, was du eben noch nicht hast. Offenbar soll es

ja 6 verschiedene geben.