Grenzwert berechnen, 3 Fragen dazu

Question

Wie kann man zeigen, dass:

$$ \lim\limits_{x,y\to0}\frac{x^3}{x^2+y^2}=0 $$

 $$\lim\limits_{x,y\to0}\frac{x^3}{x^2+y^2}\leq \lim\limits_{x,y\to0}x^2 \frac{x}{x^2+y^2} \leq \lim\limits_{x,y\to0}x^2=0 $$

                                                         x/x²+y² kleiner gleich 1   (konnte ich schlecht einfügen...)

1.) Reicht das?

2.) Wieso, wenn das ganz rechts null ist, ist das ganz links auch Null?

3.) Muss man es auch nach unten abschätzen, wäre null, aber muss man das tun? Wenn man die Stetigkeit zeigen soll (nicht hier bezogen, sondern allgemein) im Punkt (0,0) und man die Definition nimmt, dann schätzt man auch ab aber nie nach unten...

Comments

\(\dfrac x{x^2+y^2}\le1\) dürfte falsch sein. Besser ist wohl$$\left\vert\frac{x^3}{x^2+y^2}\right\vert=\vert x\vert\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\le\vert x\vert\longrightarrow0.$$

Answer 1

Hallo

 mit x=rcos(t) y=rsin(t) hast du r^3cos^3(t)/r^2= r*cos^3(t)->0 für r->0 und  alle t

x/(x^2+y^2) setz mal x=y=0,1 ein!

Gruß lul