Konvergenz durch Cauchy-Kriterium (2^-n + 4)/2

Question

Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen?

Die Konvergenz der Folge \( \frac{2^{-n} + 4}{2} \) soll mit dem Cauchy-Kriterium bewiesen werden.

Danke.

Answer 1

( 2^(-n) + 4 ) / 2

= 2^(-n) / 2  + 4  / 2

= 2^(-n+1)   +   2

==>   Für alle n,m  ∈ℕ  mit m>n

| a_n - a_m | = | (2^(-n+1)   +   2) - (2^(-m+1)   +   2) |

               =  | 2^(-n+1)- (2^(-m+1) |

              = | 2^(-n+1) * ( 1 - 2^( -m+n) ) |

Die Faktoren sind beide für  n,m  ∈ℕ nicht negativ, also

= 2^(-n+1) * ( 1 - 2^( -m+n) )

und der zweite Faktor ist kleiner als 2 , also

< 2^(-n+1) * 2 = 2^(-n)  . Und damit das kleiner eps wird:

          2^(-n) < eps

             -n * ln(2) < ln(eps)

                n >    - ln(eps) / ln(2)  .