Differentialgleichung vollständig lösen (x^2-1)y'= y

Question

Ich habe folgende Differentialgleichung gegeben: (x^2-1)y'= y

Ich habe die homogene Lösung $$y=C\sqrt{\frac{|x-1|}{|x+1|}}$$

Gefragt ist aber wie die vollständige Lösung ist. Bei der paritkulären Lösung würde ein ewig langer Bruch rauskommen, deshalb wollte ich mal Fragen ob ich dass überhaut machen muss oder bin ich hier schon fertig und muss yp gar nicht gerechnen?

Ich freue mich über alle Antworten.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(x^2-1)\,y'=y\quad\right|\;:(x^2-1)$$$$\left.y'=\frac{y}{x^2-1}\quad\right|\;:y$$$$\left.\frac{y'}{y}=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln|y|=\frac{1}{2}\left(\ln|x-1|-\ln|x+1|\right)+c\quad\right.$$$$\left.\ln|y|=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{|x-1|}{|x+1|}\right)+c=\ln\left(\sqrt{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}\right)+c\quad\right.$$$$y=C\sqrt{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}\quad;\quad C:=e^c=\text{const}$$

Das ist aber doch die vollständige Lösung der DGL... oder hast du noch Terme verschwiegen? Die Konstante \(C\) kannst du aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

Comments

Nein stimmt habe ja keine Störfunktion.. ich bin da etwas durcheinander gekommen.

Answer 2

Hallo

 da das eine homogene DGL ist, hast du die allgemeine Lösung schon richtig.

wie kommst du auf eine zusätzliche partikuläre Lösung?

Oder ist das nicht deine ganze Dgl?

Gruß lul