Aloha :)
Wir schreiben zunächst die Kreisgleichung etwas um:$$K:\;0=x^2+y^2-6x-2y-15=(x^2-6x+9)-9+(y^2-2y+1)-1-15$$$$K:\;(x-3)^2+(y-1)^2=25$$Der Kreis hat also den Mittelpunkt \(M(3|1)\) und den Radius \(R=5\).
Jetzt schreiben wir die Geradengleichung um:$$g:\;\binom{x}{y}=\binom{x}{\frac{3}{4}x+1}=\binom{0}{1}+x\binom{1}{\frac{3}{4}}$$Man erkennt den Richtungsvektor der Geraden. Dazu gibt es zwei senkrechte Vektoren$$\vec v_1=\binom{-\frac{3}{4}}{1}\quad;\quad \vec v_2=\binom{\frac{3}{4}}{-1}$$wobei beide die Länge \(\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}\) haben.
Damit können wir die Berührpunkte bestimmen:
$$\vec p_1=\vec m+\frac{R}{5/4}\vec v_1=\binom{3}{1}+\frac{5}{5/4}\binom{-\frac{3}{4}}{1}=\binom{3}{1}+4\binom{-\frac{3}{4}}{1}=\binom{0}{5}$$$$\vec p_2=\vec m+\frac{R}{5/4}\vec v_2=\binom{3}{1}+\frac{5}{5/4}\binom{\frac{3}{4}}{-1}=\binom{3}{1}+4\binom{\frac{3}{4}}{-1}=\binom{6}{-3}$$Also haben wir: \(P_1(0|5)\;;\;P_2(6|-3)\).
Die Gleichungen der Tangenten sind nun:$$t_1:\;\vec x_1=\binom{0}{5}+x\binom{1}{\frac{3}{4}}\quad;\quad t_2:\;\vec x_2=\binom{6}{-3}+x\binom{1}{\frac{3}{4}}=\binom{0}{-7,5}+x\binom{1}{\frac{3}{4}}$$Das kann man auch als Funktionsgleichungen schreiben:
$$t_1:\;\vec x_1=\binom{x}{5+\frac{3}{4}x}\quad;\quad t_2:\;\vec x_2=\binom{x}{-7,5+\frac{3}{4}x}$$$$t_1:\;y=5+\frac{3}{4}x\quad;\quad t_2:\;y=-7,5+\frac{3}{4}x$$
