Bestimme den Term der quadratischen Funktion

Question

Bitte um Hilfe:)

Bestimme den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch den Punkt P(2/57) geht und den Graph der Funktion g mit g(x)=−8x^2−36 an der Stelle x = -3 berührt.
Ansatz/Problem:

Ist die Grundgleichung ax^2+bx+c?, weil da keine Angabe des Grads dabeisteht. Da es drei Unbekannte gibt, brauche ich auch drei Bedingungen, habe aber nur zwei: f(2)=57 und f(-3)=-108, wobei ich mir da auch nicht sicher bin. Was ist die dritte Bedingung?

:)

Answer 1

Hallo,

dein Ansatz ist richtig, denn eine quadratische Funktion hat den Grad 2.

Die dritte Information ist, dass beide Graphen im Punkt (-3|-108) die gleiche Steigung haben = 48 haben.

Gruß, Silvia

Comments

Danke, ist die dritte Information also f'(-3)=48?

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Genau, das ist sie.

Answer 2

Bedingungen:

1) der Funktionswert f(-3)=-8*(-3)²-36=-108  ist gleich

2) die Steigung f´(-3)=m  ist gleich

f(x)=-8*x²-36

f´(x)=-16*x  → f´(-3)=m=-16*(-3)=48

gesuchte Funktion: g(x)=a2*x²+a1*x+ao  → g´(x)=2*a2*x+a1

gegeben: P1(2/57)  P2(-3/-108) und g´(-3)=m=48

ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS)

1) g(2)=57=a2*2²+a1*2+1*ao  aus P1(2/57)

2) g(-3)=-108=a2*(-3)²+a1*(-3)+1*ao aus P2(-3/-108)

3) g´(-3)=48=2*a2*(-3)+1*a1+0*ao aus g´(-3)=m=48

Dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) 4*a2+2*a1+1*ao=57

2) 9*a2-3*a1+1*ao=-108

3) -6*a2+1*a1+0*ao=48

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a2=-3 und a1=30 und ao=9

gesuchte Funktion g(x)=-3*x²+30*x+9

~plot~-8*x^2-36;-3*x^2+30*x+9;[[-10|10|-450|100]];x=-3~plot~