Funktionsgleichung der quadratischen Funktion durch die Punkte A(0I3), B(-1I6) und C (2I3) bestimmen

Question

Ich schreibe Freitag eine Mathearbeit und benötige Hilfe !!

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion f.

a) der Graph von f verläuft durch die Punkte A(0I3) B(-1I6) und C (2I3).

schon mal

Answer 1

f(0)=3

f(-1)=6

f(2)=3

LGS:

c = 3

a - b + c = 6

4a + 2b + c = 3

Gelöst: a = 1, b = -2, c = 3

--> f(x) = x^2 - 2x + 3

Grüße

Comments

Wie macht man das wenn keiner von den drei angegebenen Punkten 0 als x Wert hat?

also z.B:

A(1/3); B(-1/2); C(1/0)

Da bekommt man dann ja raus:

2 = 9a+3b+c

2 = a-b+c

3 = a+b+c

Kann man das dann direkt mit dem Matrix-System lösen oder erst noch irgendwas anderes Rechnen?

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A(1/3); B(-1/2); C(1/0)

Gibt es nicht. A und C habe den gleichen x-Wert
aber unterschiedliche Funktionswerte.

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Ah hab mich verschrieben.

C(3/2) ist richtig. Sorry

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Die Kurzversion der Lösung

A(1/3); B(-1/2);  C(3/2)
C und B haben denselben y Wert.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt daher genau in
der Mitte von B und C bei x = 1
Bei x = 1 liegt A ( 1 | 3 )
Scheitelpunktform der Parabel

f ( x ) = ( x - 1 )^2 + 3

Die Langversion
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c

f ( 1 ) = a*1^2 + b*1 + c = 3
f (-1) = a *(-1)^2 + b*(-1) + c = 2
f ( 3 ) = a * 3^2 + b * 3 + c = 3

a + b + c = 3
a  - b + c = 2
9*a  + 3*b + c = 2

Dies ist ein lineares Gleichungssystem welches mit
Gauß-Verfahren durch einsetzen usw zu lösen ist.

Kommst du weiter ?

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Aha gute Idee mit der Scheitelpunktform. Ist das Gauß Verfahren genau dasselbe wie das Matrix Verfahren also nur ein anderer Name, oder gibt es da Unterschiede? Wir sollen das nämlich mit der Matrixform lösen.

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Falls dir 3 Punkte gegeben sind ist die Wahrscheinlichkeit
eine Lösung über die Scheitelpunktform zu finden sehr gering.

Besser ist die " normale " Berechnungsvariante.

Die Lösung ist
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 1/2 * x + 11/4

Meine Scheitelpunktvariante stimmt noch nicht.

Den Begriff Matrix-Verfahren kenne ich nicht.
Da mußt du einmal im Internet nachsehen.

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Irgendwie stimmen meine Überlegungen zur
Scheitelpunktvariante nicht. Ich will jetzt aber
fernsehen.

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Das ist eine Matrixform. Ich kannte das Gauß Verfahren nicht und hab mir kurz ein Video davon angeschaut. Auf dem Bild waren die Lösungen aber deutlich einfacher deswegen hab ich gefragt ob das trotzdemnoch geht.

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f ( x ) = ( x - 1 )² + 3

Die Scheitelpunktform stimmt noch nicht ganz.
Es fehlt der Vorfaktor

f ( x ) = a * ( x - 1 )² + 3
und dann einen Punkt einsetzen
f ( 3 ) = a * ( 3 - 1 )^2 + 3 = 2
a * 2^2 = -1
a = -1 / 4

f ( x ) = -1/4 * ( x - 1 )² + 3
ausmultipliziert
f ( x ) = -1/4 * ( x^2 - 2x + 1 ) + 3
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 2/4 * x - 1/4 + 3
f ( x ) = -1/4 * x^2 + 1/2 * x + 11 / 4

und stimmt mit der anderen Lösung überein.

Nochmals : das die Scheitelpunktform bei dieser Aufgabe
angewendet werden kann ist purer Zufall und kommt nicht
so häufig vor.

Zum Matrixverfahren kann ich dir leider nichts sagen.

Ansonsten
a + b + c = 3
a  - b + c = 2
9*a  + 3*b + c = 2

Wir machen aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 2 Gleichungen mit
2 Unbekannten und dann 1 Gleichung mit 1 Unbekannten.

a + b + c = 3
a  - b + c = 2  +
-----------------
2a + 2c = 5

a  - b + c = 2   | * 3
9*a  + 3*b + c = 2

3a  - 3b + 3c = 6  
9*a  + 3*b + c = 2  |  +
-------------------------
12a + 4c = 8

2a + 2c = 5 | * 2
12a + 4c = 8

4a + 4c = 10
12a + 4c = 8 | -
----------------
-8a = 2
a = - 1/4  stimmt

usw.

Answer 2

Da 3 Punkte angegeben sind wird eine Funktion
2.Grades angenommen

mfg Georg

Answer 3

Der Graph von f verläuft durch die Punkte A\((0|3)\), B\((-1|6)\) und C \((2|3)\)

Die x-Stelle des Scheitelpunktes liegt in der Mitte von \(x=0\) und \(x=2\)→\(x_S=\red{1}\)

Allgemeine Scheitelpunktform der Parabel:

\(f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\)

\(f(x)=a(x-\red{1})^2+y_S\)

A\((0|3)\):

\(f(0)=a(0-1)^2+y_S=a+y_S\)

1.)    \(a+y_S=3\)

B\((-1|6)\):

\(f(-1)=a(-1-1)^2+y_S=4a+y_S\)

2.)    \(4a+y_S=6\)

1.)-2.):  \(-3a=-3\)                   \(a=1\) in 1.) einsetzen   \(1+y_S=3\)  →     \(y_S=2\)

\(f(x)=(x-1)^2+2\)

Answer 4

Hier noch eine Lösung wie der Lehrer es nicht haben will, aber man es trotzdem machen kann, wenn man es sich leicht machen möchte.

a) der Graph von f verläuft durch die Punkte A(0I3) B(-1I6) und C (2I3).

Verschiebe alle Punkte um 3 nach unten und stelle dann über die Nullstellen und einen dritten Punkt die Funktion auf

A'(0 | 0) ; B'(-1 | 3) ; C'(2 | 0)

g(x) = a·x·(x - 2)

g(-1) = a·(-1)·((-1)- 2) = 3 --> a = 1

Jetzt kennst du die Funktion, die durch die 3 verschobenen Punkte geht und verschiebst den Graphen dieser Funktion um 3 Einheiten nach oben.

f(x) = 1·x·(x - 2) + 3 = x^2 - 2·x + 3

Dieses wäre einer der einfachsten Wege zum Aufstellen dieser Funktion.

Comments

Verschiebe alle Punkte um 3 nach unten und stelle dann über die Nullstellen und einen dritten Punkt die Funktion auf

Woher hast du diese Methode? Wie kommt man darauf? Welches Prinzip steckt dahinter?

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Parabeln kann man gut über den Scheitelpunkt oder über die Nullstellen aufstellen.

Kannst du wie hier durch Verschiebung der Punkte und der Funktion durch Kenntnis der Nullstellen diese Funktion sehr leicht aufstellen, kann man das machen. Man muss nur nachher daran denken, die Funktion wieder zurück zu verschieben.