Question

Bestimmen Sie mit der Substitutionsregel folgendes Integral von beiden Aufgaben.

Aufgabe 1. S(x^3+20)^10 3*x^2 dx

Mein Z = x^3+20

und

Aufgabe 2: S -9*y^2 (y^3+6)^3 dy

Mein Z= y^3+6

Answer 1

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz*1/z´

F(x)=∫(x³+10)^1⁰*dx) Substution z=x³+10 abgeleitet z´=dz/dx=3*x² → dx=dz/(3*x²)

F(x)=∫z^1⁰*dz*3*x²/(3*x²)=z^(10+1)*1/(10+1)+C

F(x)=1/11*(x³+10)^1^1+C

S(y)=∫-9*y²*(y³+6)³*dy

z=y³+6 → z´=dz/dy=3*y²  dy=dz/(3*y²)

S(y)=∫-9*y²/(3*y²)*z³*dz=-3*∫z³*dz=-3*z^(3+1)*1/(3+1)+C

S(y)=-3/4*(y³+6)^4+C

Hinweis:Die Integration durch Substitution funktioniert nur,wenn z´=dz/dx=kostant ist oder wenn sich das übriggebliebene x aufhebt
Konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werdenBei diesen beiden Aufgaben haben sich x² und y² auf und es bleibt  ∫ z^(k)*dz