Aufgabe:
Für eine Aufgabe muss ich die Stammfunktion von 1(2x−1)2 \frac{1}{(2x-1)^{2}} (2x−1)21 bilden.
Problem/Ansatz:
Ich habe Probleme mit dem Bruch und der Klammer. Vermutlich muss man hier die binomische Formel nutzen?
Ich habe jetzt -(2x-1)-1 raus bekommen. Ist das richtig?
Das müsste dann ja auch -1(2x−1)1 \frac{1}{(2x-1)^{1}} (2x−1)11 sein?
Ich bräuchte Tipps zur einfachen Bildung und am besten eine detaillierte Rechnung Schritt für Schritt.
Danke
Aloha :)
Ausführlich mit Substitution:
I=∫1(2x−1)2dxI=\int\frac{1}{(2x-1)^2}dxI=∫(2x−1)21dxSubstituiere: u : =2x−1;dudx=2;dx=12duu:=2x-1\quad;\quad\frac{du}{dx}=2\quad;\quad dx=\frac{1}{2}duu : =2x−1;dxdu=2;dx=21du
I=∫1u2⋅12du=12∫u−2du=12⋅u−1−1+c=−12u+c=−12(2x−1)+cI=\int\frac{1}{u^2}\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{-2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{2u}+c=\frac{-1}{2(2x-1)}+cI=∫u21⋅21du=21∫u−2du=21⋅−1u−1+c=−2u1+c=2(2x−1)−1+c
Kurzform mit Substitution:
∫1(2x−1)2dx=12∫(2x−1)−2d(2x−1)=12(2x−1)−1−1 + c = −12(2x−1) + c\int\frac{1}{(2x-1)^2}dx=\frac{1}{2}\int(2x-1)^{-2}d(2x-1)=\frac{1}{2}\frac{(2x-1)^{-1}}{-1}\!+\!c\!=\!\frac{-1}{2(2x-1)}\!+\!c∫(2x−1)21dx=21∫(2x−1)−2d(2x−1)=21−1(2x−1)−1+c=2(2x−1)−1+c
Vielen Dank! Ist das nur mit der Substitution möglich oder kann man das auch anders lösen?
Wir haben das nämlich noch nie gehabt in der Schule.
Mir fällt bei diesem Integral sonst nur noch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ein. Du könntest das Ergebnis "erraten" und dann zeigen, dass die Ableitung des geratenen Ergebnisses gleich dem Integranden ist.
Mir Rechenweg:
https://www.integralrechner.de/
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