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Aufgabe:

ψα sei eine Drehung in R2 um den Ursprung mit Drehwinkel α, v∈R dann ist

φαv : R2 → R2, x↦ ψα (x-v) +v die Drehung um den Punkt v mit Drehwinkel α.

Seien nun v1,v2∈R2 und α12∈[0,2π).

Frage: Ist die Abbildung φα2v2 (verkettet) φα1v1 ebenfalls eine Drehung? Wenn ja, dann um welchen Punkt und mit welchem Drehwinkel? Wenn nein, warum nicht?

(Hinweis: Es ist nicht erforderlich mit den Drehmatrizen und Winkelfunktionen zu rechnen.)


Problem/Ansatz:

Also die Frage an sich ist ja ziemlich klar und ich bin mir auch ziemlich sicher, dass da wieder eine Drehung heraus kommt, allerdings stellt mich die Frage um welchen Punkt und mit welchem Drehwinkel vor ein großes Rätsel... Bis jetzt hatten wir nur, dass wir so eine Drehung als Verkettung von einer orthogonalen Abbildung (einer Drehung um den Ursprung) und einer Translation um den Vektor v darstellen können, allerdings sehe ich nicht wie mir das hier weiterhelfen soll.

Bei dem Drehwinkel bin ich mir ziemlich sicher, dass der neue Drehwinkel α12 aber wie zeige ich das, und wie zeige ich den Rest?

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Verschieben - Drehen - Zurückschieben

und wie soll ich das bei zwei verknüpften Drehungen, machen, wo ich dann ja noch nicht mal weiß, um welchen Punkt sich das ganze dreht

denn bei einer Drehung ist das ja klar, aber jetzt habe ich zwei verknüpfte Drehungen um unterschiedliche Winkel und unterschiedliche Punkte, und ich will ja wissen um welchen Punkt sich diese Verknüpfte Drehung dreht und mit welchem Winkel....

Alternative :

φ dreht um A um α ,  ψ dreht um B um β.

φ ist eine doppelte Geradenspiegelung φ = σg ° σh wobei A der Schnittpunkt der Geraden g und h und α der doppelte Winkel zwischen h und g ist.

ψ ist eine doppelte Geradenspiegelung ψ = σk ° σl wobei B der Schnittpunkt der Geraden k und l und β der doppelte Winkel zwischen l und k ist.

Dann ist   ψ ° φ  =  σk ° σl ° σg ° σh  =  σk ° σh  falls  l = g ist.

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