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Aufgabe 1 (4 Punkte) P Das Intervall [0,2] werde in zwei Teile zerlegt, indem im Intervall [0,1] rein zufallig, also gemäß der Gleichverteilung, ein Punkt markiert wird. Sei \( U \sim \) Unif \( _{[0,1]} \) die Länge des kiurzeren Teils und \( X:=\frac{U}{2-U} \) bezeichne das zufällige Verhältnis des kürzeren Teils zum Längeren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von \( X \)

vor von

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Ohne Garantie auf Richtigkeit und man sollte wahrscheinlich bei der Umformung der Ungleichung (die ich nicht mit aufgeschrieben habe) erwähnen, warum Fallunterscheidung unötig sind. Hierbei könnte helfen, dass \(
X=\frac{U}{2-U}\quad\land\quad U\in[0;1]\quad\implies\quad X\in[0;1]\)

$$ \begin{align} F_U(x) &= \cases {0 \qquad ,x\le 0\\ x \qquad , 0<x<1\\ 1 \qquad , x\ge 1}\\[1cm] F_X(x)&=P(X\le x)\\[6pt] &=P\left(\frac{U}{2-U}\le x\right)\\[6pt] &= P\left(U\le\frac{2x}{1+x}\right)\\[6pt] &=F_U\left(\frac{2x}{1+x}\right) \\[6pt] &= \cases {0 \qquad ,\frac{2x}{1+x}\le 0\\ \frac{2x}{1+x} \quad , 0<\frac{2x}{1+x}<1\\ 1 \qquad , \frac{2x}{1+x}\ge 1}\\[6pt] &= \cases {0 \qquad ,x\le 0\\ \frac{2x}{1+x} \quad , 0<x<1\\ 1 \qquad , x\ge 1}\\[6pt] \implies f_X(x)&= \cases {0 \qquad ,x\le 0\\ \frac{2}{(1+x)^2}, 0<x<1\\ 0 \qquad , x\ge 1}\\[6pt] \end{align} $$

Nicht ganz sauber aufgeschrieben, da z.B. \(F_X(x)\) für \(x=-1\) ursprünglich nicht definiert ist... es sollte aber klar sein, dass \(F_X(-1)=0\) korrekt ist, da \(X\in[0;1]\).

vor von 1,0 k

Vielen Dank für die Lösung leider war das bisschen spät trotzdem danke nochmal

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