Wahrscheinlichkeitsdichte und Erwartungswert von X^2 bei Standardnormalverteilung?

Question

Aufgabe:

Wir haben eine Zufallsvariable X welche standardnormalverteilt ist. Sei Y = X² . Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte von Y und wie lautet E(Y)

Problem/Ansatz:

Bei der Wahrscheinlichkeitsdichte bin ich verloren.

Mein Ansatz bei E(Y) war folgender:

Vorwissen: Var(x) = E(X²) - [E(X)]²

E(Y) = E(X²) = Var(X) + [E(X)]²

= σ² + μ²

= 1² + 0²

= 1

Ist das richtig? Und wie ermittle ich hier die Wahrscheinlichkeitsdichte? Danke im voraus.

Comments

Hattet ihr den Transformationssatz für Dichten?

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Nein. Wenn dann am Rande in ner Vorlesung wo ich das nicht mitbekommen habe..

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Ist es eine Vorlesung für Mathematiker? Weil eine andere Möglichkeit als dichtetrafo kenn ich nicht für solche aufgaben

Answer 1

Für \(y<0\) ist

        \(F_{Y}(y)=0\).

Für \(y\geq 0\) ist

        \(\begin{aligned} F_{Y}(y) & =P\left(Y\leq y\right)\\ & =P\left(X^{2}\leq y\right)\\ & =P\left(\left|X\right|\leq\sqrt{y}\right)\\ & =P\left(-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y}\right)\\ & =\Phi\left(\sqrt{y}\right)-\Phi\left(-\sqrt{y}\right)\\ & = 1-2\Phi\left(-\sqrt{y}\right) \end{aligned}\)

wobei \(\Phi\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.

Comments

Danke ! Ist der Erwartungswert richtig gewesen übrigens?

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Der Erwartungswert ist richtig.