Sei ai der i-te Spaltenvektor der Matrix A, dann gilt für das i,j-te Element von AtA (ATA)i,j=aiTaj=δi,j
Füt i=1 folgt, weil a1 die Form a1=⎝⎜⎜⎜⎛α10⋯0⎠⎟⎟⎟⎞ hat, α12=1
Weil 0=a1Ta2=(α10⋯0)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛β1β20⋯0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=α1β1 gilt, folgt β1=0 und wegen 1=a2Ta2=(0β2⋯0)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0β20⋯0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ folgt β22=1
Das macht man soweiter bis zur letzten Zeile und bekommt, das A eine Diagonalmatrix sein muss, mit Diagonaleinträgen vom Betrag 1.