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Hey sitze nun schon eine Weile an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe.


Aufgabe:

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Bestimmen Sie alle invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen A ∈ Rn,n mit A−1 = AT

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Sei ai a_i der i-te Spaltenvektor der Matrix A A , dann gilt für das i,j i,j-te Element von AtA A^t A (ATA)i,j=aiTaj=δi,j (A^T A)_{i,j} = a_i^T a_j = \delta_{i,j}

Füt i=1 i = 1 folgt, weil a1 a_1 die Form a1=(α100) a_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} hat, α12=1 \alpha_1^2 = 1

Weil 0=a1Ta2=(α100)(β1β200)=α1β1 0 = a_1^T a_2 = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha_1 \beta_1 gilt, folgt β1=0 \beta_1 = 0 und wegen 1=a2Ta2=(0β20)(0β200) 1 = a_2^T a_2 = \begin{pmatrix} 0 & \beta_2 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \beta_2 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix} folgt β22=1 \beta_2^2 = 1

Das macht man soweiter bis zur letzten Zeile und bekommt, das A A eine Diagonalmatrix sein muss, mit Diagonaleinträgen vom Betrag 1 1 .

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Was ist denn der Betrag in einem kommutativen Ring?

Hatte ich überlesen. Dann sind es Diagonaleinträge dessen Quadrate 1 1 ergeben.

Danke das bringt mich weiter aber komplett versteh ich das ganze immer noch nicht. bis wohin muss ich das ganze denn machen, also bis zu welcher Zeile ?

Induktiv bis zur letzten.

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