KomplexeZahlen gauß´sche

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(2) \( z_{1}=2 e^{315^{\circ}}, z_{2}=3 e^{180 ;}, z_{3}=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+j \cdot \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \)
\( z_{4}=\frac{z_{1}}{z_{2}}, z_{5}=z_{4}^{*} \)

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Problem/Ansatz:

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in
der Gauß´schen Zahlenebene dar (ohne Umrechnung in eine andere Darstellungsform)

Answer 1

Bei \( z_2 = 2 \cdot e^{j \ 315°  } \) ist der Radius \( 2 \)

\( e^{j \ 315°} = \cos(45°) -j \sin(45°) = \frac{ \sqrt{2} } { 2 } - j \frac{ \sqrt{2} } { 2 } \) also $$ z_2 = \sqrt{2}  - j \sqrt{2} $$

Der Rest geht ähnlich.

Answer 2

Für z1 zeichne einen Strahl vom 0-Punkt aus, der mit der positiven x-Achse

einen Winkel von 315° bildet und auf diesem 2 Längeneinheiten vom 0-Punkt entfernt

die Spitze des Pfeiles für z1.

z2 entsprechend bei -3 auf der x-Achse.

Für z3 muss der Winkel mit der pos. x-Achse 3pi/4 = 135° sein, die Spitze auf dem Einheitskreis.

Für z4 ist der Winkel 315°-180°= 135° und die Länge ist 2/3 Längeneinheiten.

Für z5 einfach z4 an der x-Achse spiegeln.