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Aufgabe:

Ein Mobilfunkunternehmen gewinnt im ersten Betriebsmonat 2514 Neukunden. Es ist geplant, die Zahl der Neukunden Monat für Monat um 379 zu erhöhen. (Im zweiten Monat gewinnt das Mobilfunkunternehmen also 2893 Neukunden, im dritten 3272 Neukunden usw.) Wieviele Kunden besitzt das Unternehmen insgesamt nach einem Jahr?


Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das?

Vielen Dank!

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Aloha :)

Es sei \(a_n\) die Anzahl der Kunden im Monat \(n\). Es geht los mit \(a_1=2514\). Im Monat \(n+1\) gewinnt das Unternehmen die Anzahl \(2514+n\cdot379=a_1+n\cdot379\) an Kunden hinzu, macht zusammen mit den \(a_n\) bereits vorhandenen Kunden:$$a_{n+1}=a_n+a_1+n\cdot 379\quad;\quad a_1=2514$$

Um eine Idee zu bekommen, wie diese Rekursionsgleichung aufgelöst werden kann, schreiben wir die ersten Folgenglieder auf:$$a_2=a_1+a_1+1\cdot379=2a_1+1\cdot379$$$$a_3=a_2+a_1+2\cdot379=3a_1+3\cdot379$$$$a_4=a_3+a_1+3\cdot379=4a_1+6\cdot379$$$$a_5=a_4+a_1+4\cdot379=5a_1+10\cdot379$$$$\underline{a_n=na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot379}$$

Wir festigen unsere Vermutung durch einen Beweis mittels vollständiger Induktion.

Verankerung \(n=1\):$$a_1=1\cdot a_1+\frac{1^2-1}{2}\cdot379=a_1\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+1}=a_n+a_1+n\cdot379\stackrel{(I.V.)}{=}na_1+\frac{n^2-n}{2}\cdot379+a_1+n\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2-n}{2}+n\right)\cdot379=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2+n}{2}\right)\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{n^2+2n+1-2n-1+n}{2}\right)\cdot379$$$$\phantom{a_{n+1}}=(n+1)a_1+\left(\frac{(n+1)^2-(n+1)}{2}\right)\cdot379\quad\checkmark$$

Nach 1 Jahr ist \(n=12\) und die Kundenanzahl des Unternehmens beträgt:$$a_{12}=12a_1+\frac{12^2-12}{2}\cdot379=12\cdot2514+66\cdot379=55\,182$$

von 34 k

Hey, vielen Dank für die ausführliche Erklärung! :)

Hab versehentlich oben vergessen die Lösung anzuführen,

die soll nämlich 55182 Kunden sein. Stimmt das?

LG

Ja, die Lösung ist richtig.

Ich hatte die Aufgabe zuerst anders interpretiert. Habe sie mit der neuen, offenbar auch so gemeinten, Interpretation nochmal gerechnet und meine Antwort entsprechend geändert.

Super ich danke DIR! :)

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