Aufgabe zu Kongruenzen lösen

Question

Aufgabe:

Ich muss folgende Aufgabe lösen, habe aber keine Ahnung wie.

$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot5\equiv7\:mod\:14\text{ an}.$$

$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot10\equiv6\:mod\:25\text{ an}.$$

$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{Z}\text{ mit }n\cdot10\equiv7\:mod\:26\text{ an}.$$

$$\text{Geben Sie alle } n\in\mathbb{N}_0\text{ mit }2^n\equiv8\:mod\:15\text{ an}.$$

Problem/Ansatz:

Bei der ersten Aufgabe bin ich durch ausprobieren auf die Lösung

$$n=14\cdot x+7\text{ für ein }x\in\mathbb{Z}$$

gestoßen. Ist das richtig?

Gibt es ein Schema wie ich die restlichen lösen kann?

Answer 1

Gibt es ein Schema wie ich die restlichen lösen kann?

Sicher gibt es das. Ich sehe jetzt zwei Möglichkeiten:

1) Ihr habt das Schema vermittelt bekommen, und du hast es verpennt.

2) Ihr habt das Schema noch nicht vermittelt bekommen, weil ihr euch die Lösung zunächst nicht "nach Schema", sondern durch Tätigkeit erarbeiten sollt. Dabei warst du mit der ersten Teilaufgabe auf einem guten Weg.

Gehe ihn weiter!

Kleiner Hinweis: Du wirst bei b) und bei c) darauf stoßen, dass diese Teilaufgaben keine Lösung besitzen. Nach einigen Beispielen wirst du selbst erkennen, warum.

Answer 2

Hallo

 du multiplizierst  beide Seiten mit dem Inversen des Faktors von n mod ... ,   bei 2. und 3. gibt es den nicht! also gibt es auch keine Lösung. Damit ist deine Lösung richtig _ 5*3=1 mod 14

also n=21mod 14=7mod 14  also n=14*m+7

 bei 4. beachte 2^4=1mod15

 2*4*2^3=2^3mod 15

Gruß lul