Matrizen, Vektoren, lineare Abbildungen

Question

Ich habe ein verständnische Problem zum Thema Lineare Abbildung von Vektorräume: zu prüfen, dass es sich um lineae Abbildungen handelt, müssen ja beide Bedingeungen erfüllt sein.

Beispiel: v= (1/1/1), u= (2/2/2)

f(u+v)= (3/373)=(3/6/3)   ungleich f(u)+f(v)= (1/4/1)+(2/5/2)=(3/9/3)

Ich sehe nicht, woher die fettgedruckten Vektoren kommen.

Beispiel 2: f ((v) ,(-v^2 *v),( v-v) )    a=2 und  v=( 1/1)

f(v)= (1 /-1/ 0) , 2*f(v)=( 2 /-2 /0) ungleich f(a*v)= (2 /-8/ 0)  wieso nicht stattdessen  (2/ -4 /0)

 Könntet ihr vielleicht eine allgemeines beispiel geben zur schnellere lösung solche aufgabe  , wenn bsp. 6 verschiedene Erzeugende system eines Vektoraumes  und man soll eine Basis bestimmen.

Für welches a element R liegt im kern von A nicht nur Nullvektor? Berechne für diesen a den Kern von A:

A= ((1 /0/ -2) (2 /-1/ a) (-1/ 1/ 0) )

Answer 1

Hm, das ist ein bisschen schlecht formatiert, ich bin mir nicht so wirklich sicher, ob ich bei allem verstehe, was du meinst.

 

1.) Es wäre hilfreich, wenn du vorher mal die Abbildung nennen würdest, du haust da irgendwelche Beispiele hin, ohne systematisch zu erklären, worum es überhaupt geht.

 

Ich nehme an, dass es bei dem ersten Beispiel um die Abbildung

f:R³->R³: f(x,y,z)=(x, y+3, z)

Es folgt:
f(1,1,1) = (1,4,1)
f(2,2,2) = (2,5,2)

In der Summe (3,9,3), anders als die Abbildung der Summe f(3,3,3)=(3,6,3). Also ist f nicht linear.

 

Beim zweiten Beispiel nehme ich an, dass du die Abbildung

g:R³->R³: g(x,y,z)=(x, -x^2*y, x-y)

Wenn man in diese Abbildung nämlich den Punkt (2,2,2) einsetzt, folgt (2,-8, 0), bestimmt man erst (1,1,1) und nimmt das Ergebnis mit 2 mal, so folgt (2, -2, 0). g ist also auch nicht linear.

 

2.) Ich empfehle das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Wendet man das auf alle Vektoren eines Erzeugendensystems an, so bleibt eine (sogar orthogonale) Basis übrig, alle überflüssigen Vektoren werden zum Nullvektor. Schaus dir am besten selbst an.

 

3.) Der Kern von A, ist die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet wird.

Zu fordern ist also: A*(x,y,z) = (0,0,0)

Daraus folgen drei Gleichungen:

x-2z = 0

2x-y+az=0

-x+y = 0

 

Daraus folgt relativ einfach a=-2.

Der Kern ist dann identisch R.