0 Daumen
171 Aufrufe

f94dd97d14ef8918e2799ac5641c8ea9.png

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Lineare Abbildungen und Matrizen \( (*) \) ).
Gegeben seien die Vektoren
\( u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), u_{4}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), w=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right) \)
sowie die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit:
\( \varphi\left(u_{1}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \varphi\left(u_{2}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \varphi\left(u_{3}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 7 \end{array}\right) \)
a) Zeigen Sie, daß die Vektoren \( \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.
b) Berechnen Sie \( \varphi\left(u_{4}\right) \)

Moin, kann ich bei a) einfach zeigen, dass man aus Rechnungen mit u1, u2 und u3 (001) (100) und (010) herausbekommen kann?

und was soll ich bei b) berechnen? Phi von etwas habe ich noch nie gemacht und dazu finde ich auch nichts vernünftiges im Netz.


effcbb21667fe7985dc464eb8b07d359.png

Text erkannt:

c) Geben Sie einen Vektor \( u_{5} \) an, mit \( \varphi\left(u_{5}\right)=w \).
d) Geben Sie die lineare Abbildung \( \varphi \) in der Form \( \varphi(x)=A x \) an.

bei c) und d) selbes Problem wie bei b), vielen Dank für eure Zeit!

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Aloha :)

Die 3 genannten Vektoren bilden genau dann eine Basis des \(\mathbb R^3\), wenn das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen \(\ne0\) ist. Über dieses Volumen gibt die Determinante Auskunft:$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=1\cdot(-1)-2\cdot1=-3\ne0\quad\checkmark$$Das negative Vorzeichen ist hier nicht relevant, es sagt nur aus, dass die 3 Basisvektoren kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem bilden.

Ohne viel Rechnerei erkennt man schnell, dass:$$\vec w=\frac53\vec u_1+\frac13\vec u_2+5\vec u_3$$Daher ist wegen der Linearität der Abbildung:$$\varphi(\vec w)=\frac53\varphi(\vec u_1)+\frac13\varphi(\vec u_2)+5\varphi(\vec u_3)=\frac13\begin{pmatrix}31\\-8\\108\end{pmatrix}$$

Avatar von 148 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community