Aloha :)
Der Straßenverlauf wird beschrieben durch:$$s(t)=\left\{\begin{array}{l}s_1(x)&=&-0,24x^5+0,2x^2+10&;&x\le0\\f(x)&=&?&;&0\le x\le5\\s_2(x)&=&-2x+15&;&x\ge5\end{array}\right.$$Wir sollen nun eine mögliche Darstellung \(f(x)\) für den Streckenabschnitt zwischen \(P(1|10)\) und \(Q(5|5)\) bestimmen. Es muss also gelten:$$f(0)=10\quad;\quad f(1)=10\quad;\quad f(5)=5$$An den Anschlussstellen \(x=0\) und \(x=5\) müssen die Ableitungen gleich sein, damit die Straße keine plötzlichen "Knicke" hat:$$s_1'(x)=-1,2x^4+0,4x\quad\Rightarrow\quad s_1'(0)=0\quad\;\;\,\Rightarrow\quad f'(0)=0$$$$s_2'(x)=-2\qquad\qquad\qquad\,\Rightarrow\quad s_2'(5)=-2\quad\Rightarrow\quad f'(5)=-2$$Wir haben also 5 Anforderungen an die Funktion \(f\). Daher reicht ein Polynom 4-ten Grades zur Beschreibung des fehlenden Stücks \(f\) aus:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$Die Bedingung \(f(0)=10\) zum direkten Anschluss an \(s_1(0)\) führt sofort zu \(e=10\). Die Bedingung \(f'(0)=0\) erzwingt \(d=0\), sodass wir uns auf 3 Unbekannte beschränken können:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+10$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx$$
Wir setzen die übrigen Forderungen \(f(1)=10\;;\;f(5)=5\;;\;f'(5)=-2\) ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}a & b & c & = &\mathrm{Operation}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &\\625 & 125 & 25 & -5 & -625\cdot Z_1\\500 & 75 & 10 & -2 & -500\cdot Z_1\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 & \\0 & -500 & -600 & -5 &:(-500)\\0 & -425 & -490 & -2\\\hline1 & 1 & 1 & 0 & -Z_2\\0 & 1 & 1,2 & 0,01 &\\0 & -425 & -490 & -2 & +425\cdot Z_2\\\hline 1 & 0 & -0,2 & -0,01 &\\0 & 1 & 1,2 &0,01 &\\ 0 & 0 & 20 & 2,25 &:20\\\hline 1 & 0 & -0,2 & -0,01 &+0,2\cdot Z_3\\0 & 1 & 1,2 &0,01 & -1,2\cdot Z_3\\ 0 & 0 & 1 & 0,1125 &\\\hline1 & 0 & 0 &0,0125\\ß & 1 & 0 &-0,125\\0 & 0 & 1 & 0,1125\end{array}$$Damit lautet eine mögliche Beschreibung des fehlenden Straßenverlaufs:$$f(x)=0,0125x^4-0,125x^3+0,1125x^2+10$$$$f(x)=\frac{1}{80}x^2\left(x^2-10x+9\right)+10$$
~plot~ (-0,24x^5+0,2x^2+10)*(x<=0) ; (1/80*x^2*(x^2-10x+9)+10)*(x>=0)*(x<=5) ; (-2x+15)*(x>=5) ; {0|10} ; {1|10} ; {5|5} ; [[-2|8|-1|15]] ~plot~
