Bestimmen Sie eine Funktion s1 , die einen möglichen Verlauf der Streckenabschnittes beschreibt.

Question

≤Aufgabe:

Ein Softwarehaus entwickelt Routenplaner. Die Koordinaten einzelner Punkte von den darzustellenden Straßen sind dem Softwarehaus bereits bekannt. Um den Verlauf der Straßen graphisch abzubilden sollen die Punkte durch die Graphen von Funktionen verbunden werden.

Ein Straßenabschnitt s beginnt in P(1I10) und endet in Q(5I5). Kurz vor dem Punkt P kann der Straßenverlauf durch die Funktion s₁(x) = -0,24x⁵ +0,2 x² +10 (x≤0) und direkt nach dem Punkt Q durch die Funktion s₂(x) = -2x+15 (x≥5) beschrieben werden.

Bestimmen Sie eine Funktion s , die einen möglichen Verlauf der Streckenabschnittes beschreibt.

Answer 1

Aloha :)

Der Straßenverlauf wird beschrieben durch:$$s(t)=\left\{\begin{array}{l}s_1(x)&=&-0,24x^5+0,2x^2+10&;&x\le0\\f(x)&=&?&;&0\le x\le5\\s_2(x)&=&-2x+15&;&x\ge5\end{array}\right.$$Wir sollen nun eine mögliche Darstellung $f(x)$ für den Streckenabschnitt zwischen $P(1|10)$ und $Q(5|5)$ bestimmen. Es muss also gelten:$$f(0)=10\quad;\quad f(1)=10\quad;\quad f(5)=5$$An den Anschlussstellen $x=0$ und $x=5$ müssen die Ableitungen gleich sein, damit die Straße keine plötzlichen "Knicke" hat:$$s_1'(x)=-1,2x^4+0,4x\quad\Rightarrow\quad s_1'(0)=0\quad\;\;\,\Rightarrow\quad f'(0)=0$$$$s_2'(x)=-2\qquad\qquad\qquad\,\Rightarrow\quad s_2'(5)=-2\quad\Rightarrow\quad f'(5)=-2$$Wir haben also 5 Anforderungen an die Funktion $f$. Daher reicht ein Polynom 4-ten Grades zur Beschreibung des fehlenden Stücks $f$ aus:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$Die Bedingung $f(0)=10$ zum direkten Anschluss an $s_1(0)$ führt sofort zu $e=10$. Die Bedingung $f'(0)=0$ erzwingt $d=0$, sodass wir uns auf 3 Unbekannte beschränken können:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+10$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx$$

Wir setzen die übrigen Forderungen $f(1)=10\;;\;f(5)=5\;;\;f'(5)=-2$ ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}a & b & c & = &\mathrm{Operation}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &\\625 & 125 & 25 & -5 & -625\cdot Z_1\\500 & 75 & 10 & -2 & -500\cdot Z_1\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 & \\0 & -500 & -600 & -5 &:(-500)\\0 & -425 & -490 & -2\\\hline1 & 1 & 1 & 0 & -Z_2\\0 & 1 & 1,2 & 0,01 &\\0 & -425 & -490 & -2 & +425\cdot Z_2\\\hline 1 & 0 & -0,2 & -0,01 &\\0 & 1 & 1,2 &0,01 &\\ 0 & 0 & 20 & 2,25 &:20\\\hline 1 & 0 & -0,2 & -0,01 &+0,2\cdot Z_3\\0 & 1 & 1,2 &0,01 & -1,2\cdot Z_3\\ 0 & 0 & 1 & 0,1125 &\\\hline1 & 0 & 0 &0,0125\\ß & 1 & 0 &-0,125\\0 & 0 & 1 & 0,1125\end{array}$$Damit lautet eine mögliche Beschreibung des fehlenden Straßenverlaufs:$$f(x)=0,0125x^4-0,125x^3+0,1125x^2+10$$$$f(x)=\frac{1}{80}x^2\left(x^2-10x+9\right)+10$$

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f₁(x) = (-0,24x⁵+0,2x²+10)·(x<=0)f₂(x) = (1/80·x²·(x²-10x+9)+10)·(x>=0)·(x<=5)f₃(x) = (-2x+15)·(x>=5)P(0|10)P(1|10)P(5|5)Zoom: x(-2…8) y(-1…15)

Answer 2

Kurz vor dem Punkt P kann der Straßenverlauf durch die Funktion s1 ...

Sollte man dann nicht vermuten, dass die Funktion s1 im Punkt (1 | 10) endet?

Wo liegt der Fehler?

Comments

Die Funktion s1 kann nicht im Punkt (1 l 10) enden, da x für s1 ≤0 sein soll. Mein Problem liegt dabei, dass ich nicht weiß wie ich die Funktion s bestimmen soll