Funktion auf Extremalstellen überprüfen

Question

Aufgabe:

Ableiten der Funktion: f(v) = v^3*exp(-(v-v0)^2/vm^2 ) 

Problem/Ansatz:

1. Produktregel

f'(v) = 3v^2 * exp(-(v-v0)^2/vm^2) + ? * v^3

Ich kann den Term exp(-(v-v0)^2/vm^2) nicht ableiten. 

Ich weiss, dass wenn ich exp ableite, der Term bleibt und ich noch mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren muss. Was aber wiederum ich schwierig finde, ist dieser Bruch im Exponenten.

Comments

Ist \(v_m^2\) gemeint und was ist dann \(v_m\)?

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Ja, mit vm^2 ist das gemeint. vm ist die mindest Geschwindigkeit.

Bei dieser Formel handelt es sich um die maxwellian distribution

Text erkannt:

\( f(v) \) in \( v3*exp(-(v-v0)2/vm2 ) \)

Answer 1

Aloha :)

$$f'(v)=\left(\underbrace{v^3}_{u}\cdot\underbrace{\exp\left(-\frac{(v-v_0)^2}{v_m^2}\right)}_{v}\right)'$$$$\phantom{f'(v)}=\underbrace{3v^2}_{u'}\underbrace{\exp\left(-\frac{(v-v_0)^2}{v_m^2}\right)}_{v}+\underbrace{v^3}_{u}\underbrace{\overbrace{\exp\left(-\frac{(v-v_0)^2}{v_m^2}\right)}^{\mathrm{äußere\;Ableitung}}\cdot\overbrace{\left(-2\frac{v-v_0}{v_m^2}\right)}^{\mathrm{innere\; Ableitung}}  }_{v'}$$$$\phantom{f'(v)}=\exp\left(-\frac{(v-v_0)^2}{v_m^2}\right)\left(3-2\frac{v(v-v_0)}{v_m^2}\right)v^2$$

Answer 2

Ich kann den Term   exp( -(v-v₀)² / v_m²)  nicht ableiten. 

Ich weiss, dass wenn ich exp ableite, der Term bleibt und ich noch mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren muss. Was aber wiederum ich schwierig finde, ist dieser Bruch im Exponenten.

Dieser Bruch ist recht einfach abzuleiten, da ja sein Nenner  v_m²  konstant ist !

Die Ableitung des Exponenten (gesamter Term in der Klammer) ist dann

-2 · (v-v₀) / v_m²

Answer 3

Ich kann den Term exp(-(v-v₀)2/v_m²) nicht ableiten. 

Laut Kettenregel bekommst du Ableitung indem du

        exp(-(v-v₀)2/v_m²)

mit der Ableitung von -(v-v₀)²/v_m² multiplizierst.

Kettenregel:

        \(f(v) = g(h(v))\implies f'(v) = g'(h(v))\cdot h'(v)\).

In deinem Fall ist \(g(h) = \exp(h)\) also \(g'(h) = \exp(h)\) und \(h(v) = -\frac{\left(v-v_0\right)^2}{v_m^2}\).

Dabei ist \(h'(v) = -\frac{2(v - v_0)}{v_m^2}\) ebenfalls nach Kettenregel.

Comments

Das mit der Kettenregel hatte der Fragesteller schon selber gesehen und erwähnt - es geht nur um die Ausführung dieser Idee.