0 Daumen
207 Aufrufe

Aufgabe: Wie bestimme ich eine ganzrationale Funktion, die durch einen Punkt ohne knick-, sprung-, und kr√ľmmungsruckfrei verl√§uft?

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine L√ľcke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x‚ā¨R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x‚ā¨R; [4;6] gegeben.


Problem/Ansatz: Zun√§chst einmal wei√ü ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschlie√üend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schl√ľssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

von

Muss die "√úberbr√ľckungsfunktion" eine ganzrationale Funktion auf dem Intervall [0 .. 4] sein ?

Muss sie unbedingt auch durch den Punkt  A(2 | 1) verlaufen ?

(Insgesamt käme man so auf 7 Bedingungen und damit auf eine Funktion 6. Grades - da habe ich gewisse Zweifel, ob das gut gehen kann ...)

Da steht zwar, dass es sich um eine ganzrationale Funktion handelt(die durch den Punkt A(2/1) verläuft), aber von einem Intervall ist hier nicht die Rede, weshalb ich auch nicht weiß wie man auf die 7 Bedingung kommt.

Der Sinn eines Trassierungsproblems ist doch gerade, eine stetige und glatte Verbindung zu bestimmen. Hier liegt eine ,,L√ľcke'' im Intervall [0,4] vor, wo sich noch dazwischen ein Punkt A befindet, der mit in diese Verbindung eingebettet werden soll.

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmung einer Funktion durch Trassierungsproblem2

Stichworte: funktion

Moin k√∂nntet ihr bitte die vorherige (selbe) Frage l√∂schen, aus privaten Gr√ľnden? Ansonsten bin ich mega dankbar f√ľr eure M√ľhe!

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine L√ľcke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x‚ā¨R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x‚ā¨R; [4;6] gegeben.


Problem/Ansatz: Zun√§chst einmal wei√ü ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschlie√üend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schl√ľssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

Spätere Version ? :

Titel: Bestimmung einer Funktion durch Trassierungsproblem3

Stichworte: funktion

Extrem wichtig, bitte original Frage l√∂schen, bin auch bereit die 25‚ā¨ zu zahlen

Gegeben ist eine klassische Trassierungsaufgabe, sprich zu sehen sind 2 Graphen, die in ihrer Mitte eine L√ľcke aufweisen und bei dem der Punkt A(2/1) zu finden ist. Des Weiteren sind die Funktionen f(x)=e^-x+1;x‚ā¨R; [-2;0] und g(x)=0,5x;x‚ā¨R; [4;6] gegeben.


Problem/Ansatz: Zun√§chst einmal wei√ü ich, dass ich die 6 Bedingungen aufstellen muss und anschlie√üend ein Gleichungssystem aufstellen muss, um die ganzrationale Funktion herauszubekommen, jedoch bin ich mir nicht ganz schl√ľssig ob es wirklich nur 6 Bedingungen sind oder doch mehr.

Ist das im Kommentar nun die vollständige Frage oder gibt es schon wieder eine neue Version davon?

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Also wenn dein Punkt A mit einbezogen werden soll, dann hast du folgende Angaben zu ber√ľcksichtigen:

\(f(0), f'(0), g(4), g'(4)\) und Punkt A. Das sind also 5 Informationen, wof√ľr du lediglich nur ein Polynom 4. Grades brauchst:

$$ p(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+k\\p'(x)=4\cdot a\cdot x^3+3\cdot b\cdot x^2+2\cdot c \cdot x+d $$

Damit stellst du dein LGS auf:

1.) \(p(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2+d\cdot 0+k=f(0)=2\)

2.) \(p(4)=a\cdot 4^4+b\cdot 4^3+c\cdot 4^2+d\cdot 4+k=g(4)=2\)

3.) \(p(2)=a\cdot 2^4+b\cdot 2^3+c\cdot 2^2+d\cdot 2+k=1\) Punkt A

4.) \(p'(0)=4\cdot a\cdot 0^3+3\cdot b\cdot 0^2+2\cdot c \cdot 0+d=f'(0)=-1 \)

5.) \(p'(4)=4\cdot a\cdot 4^3+3\cdot b\cdot 4^2+2\cdot c \cdot 4+d=g'(4)=0.5 \)

Vergleiche:

$$ a=-\frac{1}{64},\quad b=\frac{3}{32},\quad c=\frac{1}{8},\quad d=-1,\quad k=2 $$

von 8,5 k

Damit die Verbindung an den Randstellen x=0 und x=4 auch "kr√ľmmungsruckfrei" wird, m√ľssen an diesen beiden Stellen auch die zweiten Ableitungen stetig sein !

So kommt man auf insgesamt 7 Bedingungen und eben (wie ich schon sagte) auf eine Funktion 6. Grades. Ich habe die Rechnung auch gemacht und fand f√ľr die Koeffizienten beispielsweise:  a = 5/1024 , b = -31/512 , ....... , f = -1 , g = 2

Die L√∂sung sieht graphisch auch ganz gut aus (ohne √úberschwingungen, die ich wegen des hohen Grades bef√ľrchtet hatte). Die Aufgabe ist so nett gestellt, dass es mit der polynomialen F√ľll-Funktion doch ganz gut geht.

Link betr. "kr√ľmmungsruckfrei" :


Kr√ľmmungsruckfrei ist nur eine Sonderanforderung an deine Funktion, die beg√ľnstigt, dass du an deinen Punkten, Wendestellen hast. Das √§ndert aber nichts an meiner L√∂sung. Diese ist auch ruckfrei, aber beinhaltet nicht im die Eigenschaft, Wendepunkte bei x=0 und x=4 zu haben. Und das muss es auch nicht, denn solange an einer Stelle x die N√§herungsfunktion mit deiner Ausgangsfunktion sowie die erste Ableitung deiner N√§herungsfunktion mit der der Ausgangsfunktion (f(x)=p(x) und f'(x)=p'(x)), hast du dort einen glatten √úbergang!

Frage: Hast du folgenden Satz noch nachträglich ergänzt?

Wie bestimme ich eine ganzrationale Funktion, die durch einen Punkt ohne knick-, sprung-, und kr√ľmmungsruckfrei verl√§uft?

Weil das habe ich zu Beginn nicht auffinden können.

ah ok, vielen dank nochmal, hab's endlich verstanden! :)

Eine Frage h√§tte ich aber noch, wenn die Aufgabe besagt,dass ich pr√ľfen soll ob eine trigonometrische Funktion diese Anforderungen erf√ľllen kann hei√üt dass dann, dass ich genau dieselben Schritten von oben wiederholen soll nur mit einem anderen Funktionstypen aber denselben Werten?

Ja, genau. Allgemein ist zb die Sinusfunktion so definiert:

$$ q(x)=a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d $$

Damit m√ľsstest du wieder Ableitungen bilden und ein Gleichungssystem l√∂sen. Aber vorsicht. Das ist dann nichtmehr ein lineares Gleichungssystem, denn du hast dir eine Funktion gew√§hlt, wo die Koeffizienten in einem nichtlinearem Zusammenhang vorkommen. Solche Gleichungssysteme lassen sich dann im Allgemeinen nicht mehr so einfach l√∂sen, bzw nur noch n√§herungsweise. Das liegt einfach daran, dass man sehr schnell das Problem bekommt, nichtmehr die passenden Umkehroperationen zur Verf√ľgung zu haben, bzw. es gibt sie zwar, aber man kann sie nichtmehr elementar hinschreiben. Bei solchen Systemen ist es eher einfacher nachzuweisen, dass es L√∂sungen gibt, als sie tats√§chlich angeben zu k√∂nnen.

@hallo97:

Ein √úbergangspunkt zweier Kurven, der "kr√ľmmungsruckfrei" ist, muss keineswegs ein Wendepunkt sein ! Bedingung ist nur, dass die zweite Ableitung in einem solchen Punkt stetig ist - aber nicht, dass sie gleich 0 sein muss (wie es bei einem Wendepunkt der Fall w√§re).

Deine Kurve mit dem Polynom 4. Grades ist an den Stellen 0 und 4  nicht kr√ľmmungsruckfrei. Vergleiche dazu einfach die zweiten Ableitungen an diesen Stellen (jeweils f√ľr die beiden sich dort treffenden Funktionen).

Achso stimmt. Danke! Allerdings erscheint es mir dann etwas seltsam soetwas dann kr√ľmmungsruckfrei zu nennen, denn mit f(x)=p(x) und f'(x)=p'(x) hat man doch bereits einen glatten √úbergang geschaffen.

Ein "glatter √úbergang" ist eben nicht unbedingt auch ruckfrei. Schau dir dies im angegebenen Video nochmal genau an. W√ľrde ein Schnellzug von einer geraden Fahrstrecke unmittelbar in eine kreisbogenf√∂rmige Kurve mit einem gewissen (nicht sehr gro√üen) Kr√ľmmungsradius fahren, g√§be es mit hoher Wahrscheinlichkeit ein schlimmes Ungl√ľck. Im harmlosen Fall w√ľrden vielleicht nur etwa im Speisewagen alle Getr√§nke von den Tischen fallen und der Kellner an die Wand knallen.

Ok, das klingt plausibel. Das hat also mehr praktische Gr√ľnde als theoretische Gr√ľnde.

Alles klar, vielen Dank nochmal! Allerdings m√ľsste ich aus sehr wichtigen privaten Gr√ľnden darum bitten, dass die Frage gel√∂scht werden soll aufgrund der rechtlichen Konsequenzen. Gr√ľ√üe

Die "praktischen Gr√ľnde", aus welchen man z.B. Bahngeleise "kr√ľmmungsruckfrei" verlegen soll, haben sehr wohl einen soliden theoretischen Hintergrund. Die entsprechende Theorie ist in der Physik zu finden. Bewegt sich der Zug mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig, so merken wir im Zuginneren gar nichts von der Bewegung, es herrschen keine Beschleunigungen. F√§hrt der Zug auf einem Kreisbogen vom Radius r mit Geschwindigkeit v, so wirkt im Inneren des Zuges scheinbar eine seitliche Beschleunigung  aquer = v2 / r  und somit eine "Fliehkraft".

Damit sich bei einer Bewegung entlang einer Funktionskurve diese Querbeschleunigung nicht pl√∂tzlich ruckartig √§ndert, muss man darauf achten, dass die zweite Ableitung  f''(x)  stetig ist. In der Verkehrstechnik und insbesondere auch im Stra√üenbau verwendet man deshalb auch als spezielle √úbergangskurven die "Klotho√Įden", welche einen m√∂glichst sanften, gleichm√§√üigen Wechsel der Kurvenkr√ľmmung bei der Durchfahrt erm√∂glichen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide

W√ľrde ein Schnellzug von einer geraden Fahrstrecke unmittelbar in eine kreisbogenf√∂rmige Kurve mit einem gewissen (nicht sehr gro√üen) Kr√ľmmungsradius fahren, g√§be es mit hoher Wahrscheinlichkeit ein schlimmes Ungl√ľck

K√∂nntest du das begr√ľnden ?

Naja, es w√ľrde eben beim √úbergangspunkt in die Kurve augenblicklich eine seitliche Fliehkraft auftreten, welche einen je nach Geschwindigkeit massiven Ruck bewirkt, der den Zug z.B. aus dem Geleise werfen kann. (Stichwort: Newtons Gesetze der Mechanik)

Das Newtonsche Gesetz besagt aber, dass die Kraft, die den Zug m√∂glicherweise aus den Gleisen werfen k√∂nnte, proportional zur Beschleunigung ist, aber nichts mit der √Ąnderung der Beschleunigung (=Ruck) zu tun hat.

Richtig ist vielmehr folgendes :
Damit ein Fahrgast im Zug seinen Kopf sch√∂n aufw√§rts auf seinen Schultern beh√§lt, muss er in Kurvenfahrten eine Zentripetalkraft auf diesen aus√ľben, was die Halsmuskeln erledigen. Das Problem bei einem nicht ruckfreien √úbergang sind nicht etwa hohe Beschleunigungswerte, die zu so hohen Kr√§ften f√ľhren, dass die Halsmuskulatur √ľberfordert w√§re (das kommt nur bei Kurvenfahrten mit hohen Geschwindigkeiten in engen Kurven vor), sondern das Problem ist, dass die Halsmuskulatur ihrerseits nicht ruckhaft sondern nur langsam, mit sanftem √úbergang angespannt werden kann, was zu einem unausgewogenem Verh√§ltnis zwischen erforderlicher und tats√§chlich zur Verf√ľgung gestellter Zentripetalkraft f√ľhren kann.

Das betrifft aber keinesfalls das oben erwähnte Geschirr im Speisewagen.

hj2166:

Ja, ich w√ľnsche dir auch einen weiterhin sch√∂nen und ruckfreien Tag ...

Und: das Geschirr hat halt gar keine Halsmuskeln.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community