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Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Zahlenfolge ( a)n∈ℕ :

 

an = $$\frac { 1+2+3+...+n }{ { n }^{ 2 } } $$

Wenden sie ggf. Die Definition eines Grenzwertes bzw.  geeignete Grenzwertsätze an .

 

Pleeasee Help! 

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1 Antwort

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Es ist $$1+2+3+...+n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$$.

Damit ist $$\frac{1+2+3+...+n}{n^2} = \frac{ n \cdot (n+1) }{2 \cdot n^2}$$

und $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot (n+1)}{2 \cdot n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 + n}{2 \cdot n^2}$$

$$ = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$$
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Könntest du den Anfang erklären? :-)
Dass 1+2+3+...+n = 1/2 * n * (n+1) ist ? Das kann man leicht mit vollständiger Induktion zeigen. Ansonsten gucke bei Wikipedia nach Gaußscher Summenformel, da gibt es auch andere Beweise.

Wie kommt man von der vorletzten auf die letzte zeile???

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