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Aufgabe:

A und B sind Schnittpunkte der Kurve mit den Koordinatenachsen; der Punkt P liegt zwischen den Punkten A und B, auf der Kurve. Nun soll der Flächeninhalt des Dreiecks APB möglichst gross sein. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks und die Koordinaten von P.

Die Kurvengleichung lautet: f(x) = \( \sqrt{4-x} \)

 
Problem/Ansatz:

Also die Punkte die in der Aufgabe stehen sind: A(0/2) , B(4/0)

Nun die Strecke AB kann man ja mit Phytagoras herausfinden, aber ab diesem Punkt ist bei mir dann auch Schluss.

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f(x) = √(4 - x)

f'(x) = -1/(2·√(4 - x))

Die Gerade durch die Punkte A und B hat die Steigung -1/2. Wo hat f(x) die gleiche Steigung?

f(x) = -1/(2·√(4 - x)) = -1/2 → x = 3

f(3) = 1 → P(3 | 1)

Wenn du jetzt noch in der Lage bist eine Skizze zu machen, gestaltet sich die Fläche zum Kinderspiel.

blob.png

A = 1/2·(4·2 - 4·1 - 2·1) = 1 FE

von 342 k 🚀
Wo hat f(x) die gleiche Steigung?

Wie genau kommen Sie auf die Idee, diesen Ansatz zu verwenden? Also: Wieso muss f(x) die gleiche Steigung haben?

Solange die Steigung nicht genau so groß ist näherst du dich der Strecke AB an oder entfernst dich. Das solltest du in der Skizze sehen können.

Wann erreicht ein Flugzeug die maximale Flughöhe. Immer wenn es parallel zum Untergrund fliegt. Das sind quasi mögliche Extrempunkte.

Aus diesem Grund ist es nützlich sich ein Bild zu skizzieren. Ich habe das Glück oder das Pech, das bei Mathematischen Aufgaben mein Gehirn Anfang Skizzen zu machen. Da brauche ich nicht mehr zu Papier und Stift zu Greifen. Für dei bei denen das noch nicht passiert die Sollten unbedingt immer mal eine Skizze anfertigen.

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Also die Punkte die in der Aufgabe stehen sind: A(0/2) , B(4/0)

Funktionsgleichung der Geraden durch diese zwei Punkte ist

        g(x) = -1/2 x + 2.

Eine Gerade, die senkrecht zu dieser Geraden verläuft, hat die Steigung -1/(-½) = 2. Auf so einer Geraden liegt die Höhe des Dreiecks.

der Punkt P liegt zwischen den Punkten A und B, auf der Kurve.

P hat die Kooridnaten (p | √(4-p)). Für die Gerade h, auf der die Höhe des Dreiecks liegt, gilt also

        √(4-p) = 2p + b,

also

        b = √(4-p) - 2p

und somit

         h(x) = 2x + √(4-p) - 2p.

Bestimme den Schnittpunkt S von h und g. Das ist des Höhenfusspunkt.

Bestimme den Abstand von P und S. Das ist die Höhe.

von 55 k 🚀

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