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Aufgabe:

Seien g,h g, h zwei Geraden auf der Einheitssphäre, die sich im Punkt P P schneiden. Seien weiterhinEg \operatorname{hin} E_{g} und Eh E_{h} die zugehörigen Ebenen und gp,hP \mathfrak{g} p, \mathfrak{h}_{P} die Tangenten an g g bzw. h h im Punkt P P .
Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen gP \mathfrak{g}_{P} und hP \mathfrak{h}_{P} gleich dem Winkel zwischen Eg E_{g} und Eh E_{h} ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin bei dieser Aufgabe komplett Planlos und habe keine Idee wie ich da ran gehen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen gP und hP gleich dem Winkel zwischen Eg und Eh ist.

Stichworte: geometrie

Seien g,h g, h zwei Geraden auf der Einheitssphäre, die sich im Punkt P P schneiden. Seien weiterhinEg \operatorname{hin} E_{g} und Eh E_{h} die zugehörigen Ebenen und gP,hP \mathfrak{g}_{P}, \mathfrak{h}_{P} die Tangenten an g g bzw. h h im Punkt P P
Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen gP \mathfrak{g}_{P} und hP \mathfrak{h}_{P} gleich dem Winkel zwischen Eg E_{g} und Eh E_{h} ist.

Bitte Fragen nur einmal absenden?

Welche Version ist die Definitive?

Geraden auf der Einheitssphäre werden in der Regel als Grosskreise definiert. Bei euch auch?

1 Antwort

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Hallo,

bin bei dieser Aufgabe komplett Planlos

Hilft folgendes Bild ?:

blob.png

(klick drauf, dann kanst Du die Szene mit der Maus drehen)


Ein Versuch:

pp sei der Vektor vom Mittelpunkt zum Punkt PP. n1n_1 und n2n_2 sind die Normalenvektoren der Ebenen - und seien jeweils Einheitsvektoren. Der Winkel α\alpha zwischen den Ebenen folgt somit aus dem Skalarproduktcosα=<n1,n2>,n1=n2=1\cos \alpha = \left< n_1, n_2\right>, \quad |n_1| = |n_2| = 1Die Richtungsvektoren tit_i der Tangenten in PP lassen sich berechnen austi=p×ni,i{1,2}t_i = p \times n_i, \quad i \in \{1,\,2\}Da nipn_i \perp p und p=1|p|=1 ist ti=1|t_i| = 1. Der Winkel β\beta zwischen den beiden Richtungsvektoren (und damit zwischen den Tangenten) folgt also auch aus cosβ=<t1,t2>=<p×n1,p×n2>=<p,p>=1<n1,n2><n1,p>=0<p,n2>=0*)=<n1,n2>=cosα\begin{aligned}\cos \beta &= \left< t_1, t_2\right> \\ &= \left< p \times n_1 ,\, p \times n_2\right> \\ &= \underbrace{\left< p, p\right>}_{=1} \cdot \left< n_1, n_2\right> - \underbrace{\left< n_1, p \right> }_{=0} \cdot \underbrace{\left< p, n_2\right> }_{=0} &&\left| \,\text{*)}\right. \\ &= \left< n_1, n_2\right> \\&= \cos \alpha\end{aligned} zu *) siehe Lagrange Identität.

Avatar von 49 k

Ja, so hab ich mir das auch vorgestellt.

Kann aber damit auch nichts weiter anfangen.

Mit Ebenen haben wir bisher nicht gearbeitet. Das ganze kommt gerade irgendwie aus dem nichts

Hallo,

wenn man sich das Bild oben anschaut, so ist doch offensichtlich, dass die beiden Tangenten im gleichen Winkel zu einander stehen wie die beiden Ebenen.

Mit Ebenen haben wir bisher nicht gearbeitet.

.. mit was habt Ihr denn bisher gearbeitet. Auf was kann man aufsetzen? Welche Definitionen oder Sätze im Kontext der Einheitssphäre habt Ihr bisher gehabt.

Was ist "Gerade auf der Einheitssphäre" und "zugehörige Ebene" ?

.. Antwort dahin gehend erweitert.

Was ist "Gerade auf der Einheitssphäre" und "zugehörige Ebene" ?

Vermutlich ein Großkreis und seine Trägerebene.


Ach - steht ja schon oben.

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