Tangentengleichung mit Punkt außerhalb der Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Gleichung der Tangente, die vom Punkt A = (-1;0) aus an den Funktionsgraphen von y = x^(1/2) gelegt wird? Welche Koordinaten hat der Tangentenberührungspunkt P₀?

Problem/Ansatz:

Wenn der x-Wert, an dem die Tangente angelegt werden soll, ein Wert der Funktion ist, komme ich mit dem Aufgaben-Typ klar.

Aber wie gehe ich bei der o.g. Aufgabe vor?

f(x)=g(x)

x^(1/2) = ax-0

x^(1/2) -ax = 0

ist mein einziger Ansatz.

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Wenn Tangente, dann sind die Steigungen gleich.

x^(1/2)/(x+1) = 1/2 x^(-1/2)

⇔ x = 1

Answer 2

Hier eine symbolische Skizze welche dadurch aber
allgemeingültig ist

P ist der Punkt außerhalb
( px | py ) )
( -1 | 0 )

m = Tangente = f ´( x ) = 1 / ( 2*x^(1/2))

Steigungsdreieck delta y / delta x
( f ( x ) - py ) / ( x- px ) =
( x ^(1/2) - 0 ) / ( x - (-1 )) = 1 / ( 2*x^(1/2))
x = 1

m = 1 / ( 2*(1)^(1/2)) = 1/2
y = m* x + b
0 = 1/2 * (-1) + b
b = 1/2
t ( x ) = 1/2 * x + 1/2
( 1 | 1 )


mfg

Answer 3

Wie lautet die Gleichung der Tangente, die vom Punkt A \( (-1|0)\) aus an den Funktionsgraphen von \(y = x^{\frac{1}{2}}\) gelegt wird? Welche Koordinaten hat der Tangentenberührungspunkt \(P_0\)?

Punkt-Steigungsform der Geraden

\(\frac{y-0}{x+1}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}\)

\(y=\frac{x+1}{2x^{\frac{1}{2}}}\)

Diese Funktion schneide ich mit  \(y = x^{\frac{1}{2}}\)

h:  \(\frac{x+1}{2x^{\frac{1}{2}}}=x^{\frac{1}{2}}\)

\(x+1=x^{\frac{1}{2}}\cdot 2x^{\frac{1}{2}}=2x \)

\(x=1\)   →  \(y=\frac{1+1}{2\cdot 1^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\)

\(P_0(1|1)\)

Tangentengleichung

2 Punkteform der Geraden

 \( \frac{y-0}{x+1} =\frac{1-0}{1+1}\)

\( \frac{y}{x+1} =\frac{1}{2}\)

\( y =\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)

Answer 4

\( f(x) = \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} \)
\( f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

Steigung zwischen A(-1|0) und dem Berührpunkt (x | f(x)), muss gleich der Steigung im Berührpunkt sein.

\( \frac{f(x) - A_x}{x - A_y} = f'(x) \)

\( \frac{\sqrt{x} - 0}{x - (-1)} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

Daraus folgt für den Berühpunkt

\( x = 1 \) und \( f(1) = 1 \)

und die Gleichung der Tangente

\( t(x) = \frac{1}{2} \cdot (x + 1) \)

Skizze

Comments

Duplikat (Apfelmännchen “Siehe Moliets.”)

Ich finde die Lösung von Moliets etwas ungünstig. Was mich daran stört, will ich aber nicht mit dir im einzelnen erörtern. Das kann ich mit Moliets selber tun, so weit er Interesse hat.