Tangentengleichung für die Tangente an die Parabel in dem Punkt P aufstellen

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Stelle die Tangentengleichung für die Tangente an die Parabel in dem Punkt P auf.

a) f(x) = 3x²   und P(2|12)                            b) f(x) = -1,5x² und P(-3|?)

Das ganze soll OHNE  die 1. Ableitung erfolgen!

Comments

Eventuell mit dem Differentialquotienten, der aber die eigentliche Definition der Ableitung ist (halt ohne Regeln)

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*ohne konventionelle Ableitungsregeln wie "Potenzregel, Quotientenregel etc."

Answer 1

Tipp: Setze die Diskriminante einer geeigneten quadratischen Gleichung Null.

Answer 2

für die Tangente (y = mx + n) an einer Parabel der Form y = ax² + bx + c gilt:

m = 2ax + b und n = c - ax²

In diesem Fall gibt es kein b oder c, also m = 2 * 3 * 2 = 12 und n = - 3 * 4 = -12

Also t(x) = 12x - 12

Gruß, Silvia

Answer 3

Die Tangente ist eine Gerade, deren Funktionsgleichung lautet also

(1)        t(x) = mx + n

und du musst m und n bestimmen.

Tangente und Funktionsgraph habe den Punkt gemeinsam, an dem die Tangete angelegt wird. Einsetzen von P in (1) liefert somit

(2)        12 = 2m + n

was sich umformen lässt zu

(3)        n = 12 - 2m.

Einsetzen in (1) liefert

(4)        t(x) = mx + 12 - 2m

Weil f eine quadratische Funktion ist, haben Tangente und Funktionsgraph keine weiteren Punkte gemeinsam. Gemeinsame Punkte berechnet man indem man die Funktionsterme gleichsetzt:

(5)        f(x) = t(x)

und somit

(6)        3x² = mx + 12 - 2m.

Umformen liefert

(7)        3x² - mx - 12+2m = 0.

Die Normalform dieser quadratischen Gleichung lautet

(8)        x² -m/3·x - 4+2/3·m = 0.

Diese Gleichung hat genau eine Lösung, falls die Diskriminante Null ist, wenn also

(9)        (-m/6)² + 4 - 2/3·m = 0

ist. Lösung dieser Gleichung ist m=12. Einsetzen in (3) liefert n = -12. Gleichung der Tangente ist also

        t(x) = 12x - 12.

Answer 4

\(g_o(x) :\, y=  \, m \; x + t\)

g_o(2)=12 ===> (2 * m) + t = 12 ===> t = 12 - 2 m

Schnittpunkt f x g_o

f(x) = g_o(x) ===> 3*x^2 = m*x + t ===> -3*x^2 + m*x + 12 - 2 m = 0

pq-Formel Diskriminante = 0 weil einzelner Schnittpunkt ===> m

Kontrolle

g_2(x): y=f'(2) (x-2)+12 = 12 * x - 12

Answer 5

a) \(f(x) = 3x^2\)  und \(P(\red{2}|12) \)

Die Tangente an die Parabel geht durch den Punkt \(Q(  \frac{\red{2}}{2}|0) \) → \(Q( 1|0) \)

\( \frac{y-0}{x-1}=\frac{12-0}{\red{2}-1}=12 \)

\(y=12x-12\)

b) \(f(x) = -1,5x^2\) und \(P(-3|-13,5)\)    →  \(Q(-1,5|0)\)

Tangente:

\( \frac{y-0}{x+1,5}=\frac{-13,5-0}{-3+1,5}=\frac{-13,5}{-1,5}=9 \)

\(y=9x+13,5 \)