Wie kann ich das lösen, damit ich auf u = 1,307 komme?

Question

Aufgabe:

0 = 3/8x² - 3/2u + (-u/4+1) · e^(-u/4+1)

Wie kann ich das lösen, damit ich auf u = 1,307 komme? Es ist Bestandteil einer Extremwertaufgabe.

Ich bitte um einen ausführlichen Lösungsweg.

Comments

0 = 3/8x² - 3/2u + (-u/4+1) * e^(-u/4+1)

Fehler Fragetext ? sondern

0 = 3/8u² - 3/2u + (-u/4+1) * e(-u/4+1)

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Ja, richtig. Danke für die Korrektur. :)

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\frac{3}{8}u^2-\frac{3}{2}u+\left(-\frac{u}{4}+1\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;\cdot8$$$$\left.3u^2-12u+\left(-2u+8\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;(u-4)\text{ ausklammern}$$$$\left.3u(u-4)-2\left(u-4\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;(u-4)\text{ faktorieren}$$$$\left.(u-4)\cdot\left(3u-2e^{-\frac{u}{4}+1}\right)=0\quad\right.$$Nach dem Satz vom Nullprodukt reicht es, wenn ein Faktor $=0$ wird, damit das Produkt $=0$ ist. Wir sehen daher eine Nullstelle bei $u_1=4$. Der zweite Faktor wird $=0$, falls:$$\left.3u-2e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;-3u$$$$\left.-2e^{-\frac{u}{4}+1}=-3u\quad\right|\;:(-3)$$$$\left.\frac{2}{3}e^{-\frac{u}{4}+1}=u\quad\right.$$Diese Gleichung lässt sich algebraisch nicht lösen. Wir benötigen daher ein numerisches Verfahren. Die Gleichung hat die Form:$$f(u)=u\quad\text{mit}\quad f(u):=\frac{2}{3}e^{-\frac{u}{4}+1}$$Die Idee ist nun, dass wir von einem Startwert ausgehen, etwa $u=1$, und den Funktionswert $f(u)$ als besseren Wert für die Lösung betrachten. Das führt uns zu folgender Lösung:$$\begin{array}{l}n & u_n & f(u_n)\\\hline 1 & 1 & 1,41133334\\ 2 & 1,41133334 & 1,27341409\\3 & 1,27341409 & 1,31808690\\4 & 1,31808690 & 1,30344814\\5 & 1,30344814 & 1,30822709\\6 & 1,30822709 & 1,30666504\\ 7 & 1,30666504 & 1,30717541 \\8 & 1,30717541 & 1,30700863\\9 & 1,30700863 & 1,30706313\\10 & 1,30706313 & 1,30704532\end{array}$$Die zweite Nullstelle ist also etwa bei $u_2\approx1,30705$.

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f₁(x) = 3/8·x²-3/2·x+(-x/4+1)exp(-x/4+1)P(1,30705|0)P(4|0)Zoom: x(-1…7) y(-1…5)