Kurvendiskussion mit Formvariablen: Sprungschanzenprofil

Question

Aufgabe:

Eine Firma baut Sprungschanzen für BMX-Fahrer in verschiedenen Formen, deren seitliches Profil jeweils durch den Graphen einer Funktion \( f_{a} \) mit der Gleichung

$$ f_{a}(x)=-\frac{1}{4 \cdot a^{2}} x^{3}+\frac{3}{4} x, \quad-8 \leq x \leq 0,^{1} $$

beschrieben wird mit \( 3,2 \leq a \leq 4\left(x, a\right. \) und \( f_{a}(x) \) in Metern).

Die Sprungschanzen werden ausgehend vom Startpunkt \( S_{a}\left(-8 \mid f_{a}(-8)\right) \) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass der Absprungpunkt \( A(0 \mid 0) \) auf dem Niveau des Erdbodens liegt, das in der Seitenansicht durch die \( x \) -Achse festgelegt ist.

Der Funktionsgraph der Beispielfunktion \( f_{3,6} \) ist in der Abbildung 1 dargestellt.

Aufgabe a:

(1) Weisen Sie nach, dass die durch die Funktion \( f_{a} \) beschriebene Profillinie der Sprungschanze im Bereich \( -\sqrt{3} \cdot a<x<0 \) unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft.

(2) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des tiefsten Punktes \( T_{a} \) des Sprungschanzen-Profils. [Zur Kontrolle: \( \left.T_{a}\left(-a \mid-\frac{1}{2} a\right)\right] \)

(3) Geben Sie eine Gleichung der Funktion kan, auf deren Graph alle Tiefpunkte \( T_{a} \) der Funktionsgraphen von \( f_{a} \) liegen.

Aufgabe b:

Bei der Firma wird eine Sprungschanze bestellt, die im Punkt \( S_{a}\left(-8 \mid f_{0}(-8)\right) \) die Steigung -3 haben soll.

(1) Berechnen Sie den Wert von a, für den die Sprungschanze im Punkt \( S_{a} \) die Steigung
-3 hat, und die Höhe über dem Erdboden, in der sich bei dieser Sprungschanze der Startpunkt \( \mathrm{S}_{\mathrm{a}} \) befindet. [Zur Kontrolle: \( a=\frac{8 \sqrt{5}}{5} \) ]

(2) Laut Angabe der Firma hat die bestellte Sprungschanze zwischen dem Startpunkt \( S_{\text {。 }} \) und dem Absprungpunkt \( A \) die durchschnittliche Steigung \( -\frac{1}{2} \). Prüfen Sie diese Angabe und beurteilen Sie ihre Aussagekraft.

(3) Die bestellte Sprungschanze ist 2 Meter breit. In dem Bereich, in dem ihr Profil unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft, muss Erde ausgehoben werden. Berechnen Sie, wie groß das Erdvolumen ist, das bis zur Profillinie dieser Sprungschanze ausgehoben werden muss.

Ich brauche e Hilfe bei den Aufgaben a) 1-3 und b) 1-3.

Answer 1

hallo!

a)
1)
der definitionsbereich ist mit -a√3 < x < 0 vorgegeben, das heißt, dass
x negativ sein muss.
also muss 3/4 - x²/4a² > 0 sein,
im term x( 3/4 - x²/4a² ) < 0 (das ist die funktionsgleichung mit ausgeklammertem x),
damit die ungleichung erfüllt ist.

darum setzen wir
3/4 - x²/4a² > 0
und bestimmen das x, für das die ungleichung erfüllt ist
3/4 > x²/4a²
x² < 3/4 * 4a²
x < a√3
weil a√3 > 0 ist, mit 3.2 ≤ a ≤ 4, wird die ungleichung mit x < 0 < a√3 erfüllt.
wir bestimmen die nullstellen der funktion

x( 3/4 - x²/4a² ) = 0
x = 0 können wir sofort ablesen.
die zweite erhalten wir, indem wir den term in der klammer null setzen
(satz vom nullprodukt)
3/4 - x²/4a² = 0
-x²/4a² =  -3/4
x = ±a√3
weil wir oben festgestellt haben, dass x < 0 sein muss, interessiert uns
nur die lösung x = -a√3
es ist -a√3 < a√3 (obige bedingung) und daher
verläuft der graph im intervall (-a√3, 0) unterhalb der x-achse.

2)
f(x) = -x³/(4a²) + 3x/4
f'(x) = -3x²/(4a²) + 3/4

-3x²/(4a²) + 3/4 = 0
-3x²/(4a²) = -3/4
-3x² = -3(4a²)/4
-3x² = -3a²
x² = a^2
x = ± a
weil x < 0 sein muss und weil a > 0 ist, ist der tiefpunkt bei x = -a
wir setzen x = -a in die funktionsgleichung ein und erhalten
-x³/(4a²) + 3x/4 = -(-a)³/(4a²) + 3(-a)/4 = a/4 - 3a/4 = -a/2
der von a abhängige tiefpunkt ist T(-a|-a/2) und hat seinen tiefsten punkt
mit a = 4.

3)
f(x=a) = -a³/(4a²) + 3a/4 = -a/4 + 3a/4 = a/2

b)
1)

f'(x) = -3
-3(-8)²/(4a²) + 3/4 = -3
-3*64/(4a²) + 3/4 = -3
-48/a² + 3/4 = -3
-48/a² = -15/4
a² = 48*4/15 = 3*16*4/(3*5) = 16*4/5
a = √(16*4)/√5 = 8/√5 = 8√5/5

höhe über dem erdboden mit x = -8, a = 8/√5
f(x) = -(-8)³/(4(8/√5)²) + 3(-8)/4 = 4 also 4 meter

2)
m = ( f'(-8) + f'(0) )/2
bin mir gerade nicht sicher, rechnet man die
durchschnittliche steigung so aus?
dann wäre m mit f'(-8) = -3 und f'(0) = 3/4:
m = (-3 + 3/4)/2 = -1.125
stimmt irgendwie nicht mit den angaben überein.

3)
a = 8/√5
f(x) = -x³/(4(8/√5)²) + 3x/4
f(x) = -x³/(4(64/5)) + 3x/4
f(x) = -5x³/256 + 3x/4

-5x³/256 + 3x/4 = 0
x1 = 0  und x2 = -6,197 (gerundet)
zwischen x1 und x2 müssen wir integrieren

∫f(x)dx = -5x^4/1024 + 3x^2/8

und erhalten als fläche A = 7.2m²
das volumen ist 7.2*2  = 14.4m³

gruß

gorgar