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Aufgabe:

Welche der folgenden Grenzwerte existieren (Divergenzen eingeschlossen)? Begründen Sie Ihre Antwort und berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.

$$ \begin{array} { l } { \text { (a) } \lim \limits _ { x \mapsto - 2 } \frac { 1 } { ( x + 2 ) ^ { 3 } } } \\ { \text { (b) } \lim \limits _ { x \mapsto - 1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \text { (c) } \lim \limits _ { y \mapsto 1 } \frac { 8 y ^ { 5 } + 3 y ^ { 2 } } { 3 + 4 y ^ { 5 } } } \\ { \text { (d) } \lim \limits _ { z \mapsto \infty } \frac { z ^ { 3 } } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \text { (e) } \lim \limits _ { z \mapsto \infty } \frac { 12 z ^ { 7 } - 50 z ^ { 3 } } { 36 z ^ { 7 } } } \\ { \text { (f) } \lim \limits _ { y \mapsto 0 } ( \operatorname { sign } ( y ) ) ^ { 2 } } \\ { \text { (g) } \lim \limits _ { n \rightarrow 0 } \frac { t ^ { 4 } + 2 t ^ { 2 } } { 3 t ^ { 4 } } } \end{array} $$

Lösungsvorschläge:

a) GW exsistiert, =0, da Nennergrad größer ist als Zählergrad

b) GW exsistiert, =0, da Nennergrad größer ist als Zählergrad

c) GW exsistiert, =1/2, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

d) GW exsistiert nicht, =∞, da Zählergrad größer ist als Nennergrad

e) GW exsistiert, =1/3, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

f) GW exsistiert nicht, da die Signumfunktion an der Stelle 0 nicht definiert ist

g) GW exsistiert, =1/3, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

Ist das korrekt? Reicht für die Berechnung aus die Aufgabe aufzuschreiben, dann "=" und das Ergebnis zu schreiben? Oder muss man es mit der h-Methode berechnen?

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Beste Antwort

Hi Robbie,

a) Dein Lösungsvorschlag passt nicht. Wir untersuchen nicht auf x->∞ (dann hättest Du recht), sonder x->-2

Da der Exponent im Nenner ungerade ist, haben wir einen Vorzeichenwechsel bei der Polstelle und damit keinen Grenzwert.

 

b) Beidseitger Grenzwert ist gleich (gerader Exponent) -> ∞ (es muss wohl 1/(x+1)^2 heißen)

 

c) Auch hier hast Du nicht geschaut wogegen wir streben (es wäre ohnehin 2 gewesen und nicht 1/2).

Da y = 1 keine Problemstelle ist einfach einsetzen -> 11/7

 

d) richtig

 

e) richtig

 

f) Oo Gerade weil es nicht definiert ist, arbeiten wir ja mit dem Grenzwert...

Da sign(y) quadratisch vorkommt, haben wir den rechts und linksseitigen Grenzwert 1. , exisitiert also

 

g) Wir gehen wieder gegen 0. Dividiere durch die höchste Potenz:

(1+2/t^2)/3 = 1/3+2/(3t^2) für t ->0 ist das ∞

 

Achte also unbedingt wonach Du strebst. Es ist nicht immer ∞, dazu hätte Deine Argumentation meist gepasst ;).

(Und ja, meist ist ein Gleichzeichen ausreichend. h-Methode ist zumeist nicht nötig)

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀

Vielen Dank für deine schnelle Unterstützung! Also, muss ich in zukünftig darauf achten, ob der Exponent gerade bzw. ungerade ist, wenn eine Variable wie z.B. x nicht gegen ±∞ strebt. Zur Aufgabe b): Ich habe mich vertippt, die Aufgabe lautet:

$$ \text { b) } \lim _ { y \mapsto - 1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } $$

Also, beidseitiger Grenzwert, da der Exponent gerade ist.

$$ \text { b) } \lim _ { y \mapsto -1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } = \infty $$

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