Beschränktheit von f, aus der gleichmäßigen stetigkeit im offenen Intervall (a;b) -> R

Question

Ich wende mich wieder mit einer Frage an diese hilfsbereite Community.

Meine Aufgabe lautet:

\(f : (a;b) \mapsto \mathbb {R} \). Zu zeigen ist, wenn \(f\) gleichmäßig stetig \(\rightarrow\) \(f\) beschränkt.

Mein erster Ansatz für diese Aufgabe war, dass man zeigt das \(f\) stetig in einem kompakten Intervall ist und dadurch auf gleichmäßige STetigkeit schließt. Diesen konnte ich nicht weiter nutzen, da wir hier ein offenes Intervall haben.

Meine nächste Idee war der Satz von DIni, nur habe ich auch hier gemerkt, dass ich nicht weiterkomme.

Ich bin offen für Ansätze und weitere Anregungen und bedanke mich schon einmal für eure Hilfe.

Grüße Matlab4Life

Answer 1

Sei f: (a,b) → ℝ gleichmäßig stetig.

Sei ε > 0.

Sei δ > 0, so dass für alle x,x₀ ∈ (a,b) gilt: |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε.

Dann ist insbesondere |f(a + 1/3·δ) - f(x₀)| < ε für alle x₀ ∈ (a, a + 1/3·δ).

Also ist f beschränkt im Intervall (a, a + 1/3·δ).

Analog dazu ist f beschränkt im Intervall (b - 1/3·δ, b).