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Wenn ich einen Kreis und dessen Mittelpunkt M, sowie einen beliebigen Punkt P außerhalb des Kreises habe und von P aus eine Tangente an den Kreis konstruiere (berührt den Kreis in B) und dazu eine Sekante durch P und durch M konstruiere (schneidet den Kreis in A), wie kann ich dann begründen, dass der Sekanten-Tangenten-Satz PB (hoch 2) = PA * PM gilt?

Liebe Grüße!
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Nachdem ich Zweifel bzgl. der Gültigkeit der von dir genannten Beziehung PB 2 = PA * PM bekam, habe ich eine Skizze gemacht - und nachgemessen. Dabei ergab sich, dass PA * PM so deutlich viel kleiner als PB 2 war, dass dies nicht an einer Zeichen - bzw. Messungenauigkeit liegen konnte.

Recherchen haben dann ergeben, dass der Sekanten-Tangentensatz gar nichts mit dem Mittelpunkt zu tun hat, sondern mit den beiden Schnittpunkten der Sekante mit dem Kreis.

Seien A und A' diese beiden Schnittpunkte und die Konstruktion im Übrigen so, wie du sie beschrieben hast, dann besagt der Satz:

PB 2 = PA * PA '

 

Für den Spezialfall, dass die Sekante durch den Mittelpunkt M des Kreises geht, lässt sich dieser Zusammenhang allerdings besonders einfach beweisen, denn dann gilt:

PA = PM - r  und PA ' = PM + r

und somit:

PA * PA ' = ( PM - r ) * ( PM + r ) = PM 2 - r 2 (Gleichung 1)

wobei r der Radius des Kreises ist.

Da PB Tangente an den Kreis ist, steht PB senkrecht auf dem Radius BM = r des Kreises. Somit ist das Dreieck PBM ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke PM als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei B. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

PB 2 + BM 2 = PM 2

bzw. wegen BM = r :

PB 2 + r 2 = PM 2

<=> PB 2 = PM 2 - r 2

sodass mit Gleichung 1 gilt:

PA * PA ' = PB 2

Avatar von 32 k
Super, danke!!!

Meine Dozentin hat nun festgestellt, dass sie in der Aufgabe die Formel falsch aufgestellt hat -.-

Richtig würde sie lauten:

PB (hoch 2) = PA* (PM+AM)


Ich weiß leider nicht, wie sie das jetzt meint.
Kannst du mir nochmal helfen?


Liebe Grüße

Ich hab mal schnell eine Skizze gemacht:

Tangenten-Sekantensatz

Auf ihr erkennst du bestimmt, dass PM + AM  dieselbe Länge ergibt wie PM + A'M, denn sowohl AM als auch A'M sind Radien des Kreises.

Die Summe PM + AM der Längen der Strecken PM und  AM ist also gleich
der Summe PM + A'M der Längen der Strecken PM  und A'M und das wiederum ist gleich der Länge der Stecke PA' . 

Also bedeutet PB 2 = PA* ( PM + AM ) dasselbe wie PB 2 = PA * PA '

Ahhh ok ich verstehe den Zusammenhang! Danke dafür!

Aber wieso kann ich denn jetzt sagen, dass mein PA * PA' = PB (hoch 2) ist?

Ich meine mein PB (hoch 2) bildet ja ein Quadrat über PB. Und ich sage jetzt, dass dieses Quadrat den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck PA * PA'.

Wie komme ich denn darauf? Das hat doch nichts mit dem Höhen-, Katheten oder dem Pythagorassatz zu tun oder?


Das hat doch nichts mit dem Höhen-, Katheten oder dem Pythagorassatz zu tun oder?

Doch, es hat mit dem Satz des Pythagoras zu tun. Das habe ich auch bereits in meiner ersten Antwort benutzt. Ich schreib's nochmal anders auf:

Da PB Tangente an den Kreis ist, steht PB senkrecht auf dem Radius BM = r des Kreises. Somit ist das Dreieck PBM ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke PM als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei B. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

PB 2 + BM 2 = PM 2

<=> PB 2 = PM 2 - BM 2

und wegen BM = r :

<=> PB 2  = PM 2 - r 2 = (3. bin. Formel) = ( PM - r ) * ( PM + r ) = PA * PA ' 

+1 Daumen
Du findest eine Herleitung des Tangenten-Sekanten-Satzes unter

http://www.cornelsen.de/teachweb/1.c.1691729.de?hasjs=1387195363

Bitte melde dich, wenn du etwas nicht verstehst.
Avatar von 477 k 🚀
ah danke, sehr sehr kompliziert. Wenn ich mit Zahlen rechne , wie wird dann aussehen, wie meine Musteraufgabe. Am Donnerstag schreibe Mathearbeit und brauche Musterlösung.
Ein Beweis ist generell immer allgemein zu halten. Ansonsten zeigt man ja nur das es für bestimmte Werte gilt.

Da zwischen meiner Antwort und deinem Kommentar nur 7 Minuten lagen glaube ich auch nicht dass du dich schon intensiv damit beschäftigt hast. Die Herleitung ist eigentlich gar nicht so schwer zu verstehen.
Sie unterteilt sich eigentlich in zwei Schritte. Zunächst zu zeigen, dass man zwei ähnliche Dreiecke hat und dann den eigentlichen Beweisschritt.


Ich bearbeite zur Zeit die selbe Aufgabe, habe mir auch den Link durchgelesen,

verstehe jedoch immer noch nicht wie man zu

PB^2= PA * (PM + AM) kommt.

Hast du vielleicht einen Ansatz

:s


Liebe Grüße
PA ist im Link SA1 und

PM + AM ist im Link SA2
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Du findest eine Herleitung des Tangenten-Sekanten-Satzes unter

http://www.cornelsen.de/teachweb/1.c.1691729.de?hasjs=1387195363

Bitte melde dich, wenn du etwas nicht verstehst.

Avatar von 477 k 🚀

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