Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem U-Bahn-Waggon Schwarzfahrer …

Question

In einer Großstadt sind erfahrungsgemäß 7% der U-Bahn-Fahrgäste Schwarzfahrer.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem U-Bahn-Waggon mit 60 Personen mindestens vier Schwarzfahrer befinden?

b) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 1200 Fahrgäste. Wie viele Schwarzfahrer wird er im Mittel antreffen?

c) In welchem symmetrischen Intervall um diesen Mittelwert liegt mit über 90 %iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Schwarzfahrer, die er an einem Tag antrifft?

 Bitte mit Rechengang und Lösung

Answer 1

a)
P(X ≥ 4) = 1 - ∑ (x = 0 bis 3) ((60 über x)·0.07^x·(1 - 0.07)^(60 - x)) = 0.6127

b)
μ = n·p = 1200·0.07 = 84

c)
σ = √(n·p·(1 - p)) = √(1200·0.07·(1 - 0.07)) = 8.839
Φ(k) = 0.5 + 0.9/2 → k = 1.645

I = [μ - k·σ; μ + k·σ] = [84 - 1.645·8.839; 84 + 1.645·8.839] = [69; 99]

P(69 ≤ X ≤ 99) = ∑ (x = 69 bis 99) ((1200 über x)·0.07^x·0.93^(1200 - x)) = 0.9209

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vielen DANK!