Aufgabe: Definiere für jedes $$ m, n \in \mathbb{N_0} $$
$$ a_{ m,n }:=\quad -1,\quad falls\quad n\quad =\quad m \\ a_{ m,n }:=\quad 0,\quad falls\quad n\quad <\quad m\\ a_{ m,n }:= \frac { 1 }{ { 2 }^{ n-m } } ,\quad falls\quad n\quad >\quad m $$
Dann gilt:
$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \sum _{ m=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n,m }\quad \neq } } \sum _{ m=0 }^{ \infty }{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n,m } } } $$
Wieso widerspricht dies nicht dem Umordnungssatz?
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz:
Linke Seite:
$$ n=0\quad :=\quad -1+0+0+0+...\\ n=1\quad :=\quad \frac { 1 }{ 2 } +(-1)+0+0+0+...\\ n=2\quad :=\quad \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +(-1)+0+0+0+...\\ n=3\quad :=\quad \frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +(-1)+0+0+0+... $$
Fasse ich das jetzt zusammen, dann erhalte ich für:
$$ n=0\quad :=\quad -1\\ n=1\quad :=\quad -\frac { 1 }{ 2 } \\ n=2\quad :=\quad -\frac { 1 }{ 4 } \\ n=3\quad :=\quad -\frac { 1 }{ 8 } $$
und damit das Ergebnis:
$$ \sum { \sum { =-\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } =-2 } } } $$
Rechte Seite:
$$ m=0\quad :=\quad -1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +...\\ m=1\quad :=\quad 0+(-1)+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +...\\ m=2\quad :=\quad 0+0+(-1)+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +...\\ m=3\quad :=\quad 0+0+0+(-1)+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +.. $$
Hier fasse ich ebenfalls wieder zusammen:
$$ \sum { \sum { = } } \sum _{ m=0 }^{ \infty }{ \left[ \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } } \right) -1 \right] } =\sum _{ m=0 }^{ \infty }{ \left( -2+\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } } \right) =\sum _{ m=0 }^{ \infty }{ 0 } } =0 $$
Also erhalte ich: $$ -2\quad \neq \quad 0 $$ (falls ich mich nicht verrechnet habe) und damit auch ein Ergebnis, was lt. Aufgabe herauskommen muss ;) ;) ;)
Mein Problem: Wieso widerspricht das NICHT dem Umordnungssatz?
Euch schon einmal ein dickes DANKE fürs Lesen und ein schönes Wochenende.
