Dummes Beispiel, aber: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) gegeben durch \(f(x)=x\) (also die Identität) schickt \(\mathbb{R}\) (abgeschlossen) auf \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) (offen).
Wenn du ein weniger banales Beispiel willst: Nimm dir die Menge \(A=[0,1]\cup[2,3]\cup[4,5]\cup\ldots = \bigcup [2i,2i+1]\) und definiere \(f:A\to\mathbb{R}\) durch \(f(x)=2\cdot(1-\frac{1}{i})\cdot|2i+\frac{1}{2}-x|\) für \(x\in[2i,2i+1]\), du schickst also gleichmäßig \([0,1]\) auf \(\{0\}\), \([2,3]\) ebenfalls, und dann \([4,5]\) auf \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\), \([6,7]\) auf \([-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\), \([8,9]\) auf \([-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\) usw. Das Bild \(f(A)\) ist offensichtlich einfach nur \((-1,1)\), was offen ist, während \(A\) abgeschlossen ist. Diese Abbildung ist sogar stetig.
Falls Stetigkeit von \(f\) nicht gefordert ist, dann definiere \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) durch \(f(0)=0.5, f(1)=0.5, f(x)=\frac{1}{x}\) für \(x\in (0,1)\). Das Intervall \([0,1]\) ist natürlich abgeschlossen, während das Bild \(f([0,1])=(1,\infty)\) offen ist.
