Berechne die Polarform der folgenden Komplexen Zahl : Z= 1-i

Question

Aufgabe:

Berechne die Polarform der folgenden Komplexen Zahl : Z= 1-i

Problem/Ansatz:

wie bekomme ich Phi heraus? (Ohne Taschenrechner) den Betrag habe ich schon

Answer 1

Hallo,

zeichne dir die Zahl doch mal in die komplexe Zahlenebene ein:

~draw~ strecke(0|0 1|-1);kreissektor(0|0 0.5 0 315);zoom(1) ~draw~

dann sieht man sofort, dass φ = 7π/4 bzw. φ = -π/4. (315° oder -45°)

Comments

Gibt es immer ein bestimmten wert für das jeweilige Quadrant?

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Wie meinst du das? Bildlich gesprochen: Das Argument bzw. φ ist in der Zahlenebene gerade der Winkel zwischen der x-Achse und der Zahl. Beachte, dass man immer gegen den Uhrzeigersinn dreht, d.h. du musst die x-Achse um 315° drehen bis du die Zahl zu erreichst. Alternativ kannst du auch 45° im Uhrzeigersinn drehen, dann musst du aber noch ein Minus davor schreiben.

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Ich meine damit nehmen wir mal an Z = 1+ i, was wäre in dem fall Phi, da ich kein Taschenrechner in der Klausur benutzen darf muss ich es ja anders lösen können.

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Ah, verstehe. Zeichne dir das auch mal ein:

~draw~ strecke(0|0 1|1);zoom(1) ~draw~

Was ist der Winkel zwischen x-Achse und Zahl?

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Ich weiß es leider nicht. Ich habe auch kein Plan wie ich Z= -3 -4i lösen soll wenn ich kein Taschenrechner benutzen darf.

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Oder anders gefragt kann man es so schreiben: Phi = arctan = (Im(z))/(Re(z)) = arctan = -4/-3 würde das so reichen?

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Also ich spreche von diesem Winkel:

~draw~ strecke(0|0 1|1);kreissektor(0|0 0.5 0 45);zoom(1) ~draw~

Das sind doch wohl 45°, bzw. π/4. Bei z = -3 - 4i ist das nicht mehr so einfach, da da kein schönes Ergebnis rauskommt, hier sollte die Angabe:

$$ \varphi = \arctan  \left( \frac{-4}{-3} \right) + \color{red}{ \pi } $$

langen. Bei den ersten beiden Zahlen würde ich aber schon erwarten, dass man diesen "runden" Winkel ablesen kann.

Answer 2

Aloha :)

$$z=1-i$$$$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\right)=\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$$Wichtig hierbei: Wenn der Realteil negativ ist, musst du zum Ergebnis der \(\arctan\)-Funktion noch \(\pi\) addieren. Hier ist der Realteil jedoch \(>0\), sodass diese "Korrektur" nicht nötig ist. Damit haben wir gefunden:$$z=1-i=\sqrt2\,e^{-i\,\pi/4}$$