Dritte Wurzeln von komplexen Zahlen in Polarform. (1-i)*z3=4i (komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

(1-i)*z³=4i

Problem/Ansatz:

Lösen folgende Gleichung,

z0=8^(1/6)*(cos45Grad+ i*sin45Grad)

z1=8^(1/6)*(cos165Grad+ i*sin165Grad)

ich wäre sehr dankbar für Ihre hilfe

Answer 1

Tipp: Verwende die Polarform (gestern: https://www.mathelounge.de/649420/polarform-von-z-2i-gesucht) und die Rechenregeln, die du dazu gelernt hast.

Die Lösungsmenge der Gleichung (1-i)*z³=4i enthält 3 Zahlen in ℂ.

Answer 2

(1 - i)·z³ = 4·i

z³ = 4·i / (1 - i)

z³ = -2 + 2·i = 8^(1/2)·EXP(135°·i)

z = 8^(1/6)·EXP((135° + k·360°)/3·i)

z = 8^(1/6)·EXP((45° + k·120°)·i)

Answer 3

(1-i) z³=4i |:(1-i)

z³= (4i)/(1-i) ->konjugiert complex erweitern (Zähler und Nenner

 mal (1+i) multiplizieren

z³= (4i-4)/(1+1)

z³= -2+2i

|z₁|=√8

tan(a)= 2/(-2)= -1 (2.Quadrant)

a=135° , n=3

allgemeine Formel:

z_k=|z₁| ^(1/n)  e ⁱ( (a+2kπ)/n )     (k=0,1,2)

Answer 4

Aloha :)

Erstmal würde ich die Gleichung umformen:

$$(1-i)z^3=4i\quad\Rightarrow\quad z^3=\frac{4i}{1-i}=\frac{4i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{4i+4i^2}{1-i^2}=\frac{4i-4}{2}=2i-2$$Dann die komplexe Zahl in Polarform schreiben:

$$z^3=\sqrt{2^2+2^2}\,e^{i\left(\arctan\left(\frac{2}{-2}\right)+\pi\right)}=\sqrt8\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$$Zum Ziehen der $n$-ten komplexen Wurzel addierst du nun zum Polarwinkel der Reihe nach $2\pi\,k$ mit $k\in{0,1,2,\ldots,n-1}$ und ziehst dann die Wurzel. Hier ist $n=3$ sodass:

$$z_1=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot0\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{3\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$$$$z_2=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot1\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{11\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{11\pi}{12}}$$$$z_3=\left(\sqrt8\,e^{i\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi\cdot2\right)}\right)^{1/3}=8^{1/6}\,e^{\frac{i}{3}\frac{19\pi}{4}}=\sqrt2\,e^{i\frac{19\pi}{12}}$$

Beachte bitte $\sqrt[3]{\sqrt 8}=\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}=\sqrt[3]{(\sqrt 2)^3}=\sqrt2$.