Zeigen Sie: Das Polynom f besitzt keine ganzzahlige Nullstelle

Question

Aufgabe:

Sei $$f ∈ \mathbb{Z}[X]$$ und f(0) und f(1) beide ungerade. Zeigen Sie: Das Polynom f besitzt keine
ganzzahlige Nullstelle, d.h. f(a) ≠ 0 für alle $$a ∈ \mathbb{Z}$$.
Hinweis: Division mit Rest ergibt f = (X − a)q + f(a) mit $$q ∈ \mathbb{Z}[X]$$ und $$a ∈ \mathbb{Z}$$.

Ich hänge bei einer Aufgabe ein wenig. Vielleicht kann mir ja jemand  helfen.

Answer 1

Hallo sniiper,

interessante Aufgabe! :) Das Kriterium kannte ich noch gar nicht.

Sei $f \in \mathbb{Z}[x]$ ein Polynom mit $f(0), f(1)$ ungerade.

Angenommen $a \in \mathbb{Z}$ ist eine Nullstelle von $f$, dann gilt $f(a) = 0$ und man findet ein Polynom $q \in \mathbb{Z}[x]$ mit $f = (x-a)q$. Jetzt ist

$f(0) = (-a) q(0)$ ungerade $\implies$ $-a$ ungerade und $q(0)$ ungerade.

$f(1) = (1-a) q(1)$ ungerade $\implies$ $1-a$ ungerade und $q(1)$ ungerade.

Ein Produkt ist nämlich nur genau dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind.

Die Differenz von zwei ungeraden Zahlen ist gerade, also ist $1 = (1-a) - (-a)$ gerade, Widerspruch.